Tシャツ

クラスTシャツ

今年はタクシー数。

去年のクラスは生徒が勝手に考えてくれたけれど，今年は「考えてほしい」ということで。

別解

先日の計算＞今日の積分

コメントで違うやり方を教えてもらったので，再計算．

先日のやり方は，最近，円周率の数値計算を書き直した関係で「頭が tangent」になっていたのが影響した．

$\int_1^3\sqrt{\frac{4}{x}-1}\,dx$

$=\int_1^3\sqrt{\frac{4-x}{x}}\,dx=\int_1^3\frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}}\,dx$

コメントでは，$\sqrt{x}=t$, $\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx=dt$ と置換して，

$=\int_1^3\sqrt{\frac{4-x}{x}}\,dx=2\int_1^\sqrt{3}\sqrt{4-t^2}\,dt$ 

と，教科書の練習問題にあるような積分となる．

教科書ではこの積分は，$t=2\sin\theta$ と置換するので，はじめから$\sqrt{x}=2\sin\theta$ と置換してしまう．

両辺２乗して

$x=4\sin^2\theta$, 

$dx=4\cdot 2\sin\theta\cos\theta\,d\theta$, 

$dx=8\sin\theta\cos\theta\,d\theta$

$\sqrt{\frac{4}{x}-1}=\sqrt{\frac{4-x}{x}}=\frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}}$

$=\frac{\sqrt{4-4\sin^2\theta}}{2\sin\theta}=\frac{2\sqrt{1-\sin^2\theta}}{2\sin\theta}=\frac{\sqrt{1-\sin^2\theta}}{\sin\theta}=\frac{\sqrt{\cos^2\theta}}{\sin\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

積分区間は

$x=1$のとき $\sqrt{1}=2\sin\frac{\pi}{6}$, $\theta=\frac{\pi}{6}$.

$x=3$のとき $\sqrt{3}=2\sin\frac{\pi}{3}$,  $\theta=\frac{\pi}{3}$.

 

$\int_1^3\sqrt{\frac{4}{x}-1}\,dx$

上記の置換により

$=\int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}\frac{\cos\theta}{\sin\theta}8\sin\theta\cos\theta\,d\theta$

$=8\int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}\cos^2\theta\,d\theta$

倍角公式$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ より $\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}$

$=8\int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta$

$=4\int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}(1+\cos 2\theta)\,d\theta$

$=4[\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta]_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}$

$=4(\frac{\pi}{3}+\frac{1}{2}\sin 2\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}\sin 2\cdot\frac{\pi}{6})$

$=4(\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}\sin \frac{2\pi}{3}-\frac{1}{2}\sin \frac{\pi}{3})$

$=4(\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2})$

$=4(\frac{\pi}{6})=\frac{2\pi}{3}$

原始関数$4(\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta)=4\theta+2\sin 2\theta$ は

$\sqrt{x}=2\sin\theta$ より，$\frac{\sqrt{x}}{2}=\sin\theta$, $\theta=\arcsin\frac{\sqrt{x}}{2}$

$2\sin 2\theta=2\cdot2\sin\theta\cos\theta=2\cdot2\sin\theta\sqrt{1-\sin^2\theta}$

$=2\sqrt{x}\sqrt{1-\frac{x}{4}}=2\sqrt{x}\frac{\sqrt{4-x}}{2}=\sqrt{x}\sqrt{4-x}$

なので，

$4(\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta)=4\theta+2\sin 2\theta=\arcsin\frac{\sqrt{x}}{2}+\sqrt{x}\sqrt{4-x}$

> 答え合わせ 

チコちゃんで円周率

「円周率がずっと続くのはなぜ？」
「円の長さを正確に測るのは本当に無理だから」

アルキメデスによる正96角形による近似、1600年にルドルフ・ファン・コーレンの正461京角形を使った近似といくらでも近似できるが、それでも円の長さは正確に測れない。
ということは、円周率は終わらない。

という簡単な説明。

論理の力による証明は強力だが、そういうことに不慣れな人に「腑に落ちた」と思ってもらうには、正多角形の説明はいいな。
正461京角形とは正$2^{62}$角形ということ。 $2^{62}$は 461京1686兆184億2738万7904 という数だが、正方形から角の2等分を繰り返した図形でなので、ルートを使って長さをいくらでも計算できるのである。

論理なら、
「無理数は無限小数である。」
「円周率は無理数である」
ゆえに、「円周率は無限小数である。」
という3段論法。
円周率が無理数である証明は、大学入試問題になる程度の高校数学である。＞以前の記事


ときどき大学入試で
$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots = \frac{\pi}{4}$
を求めさせる問題が出る。＞以前の記事
つまり
$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{13}{15}$
$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{76}{105}$

・・・

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots-\frac{1}{99}=\frac{850151369116051611488718369170287588082}{1089380862964257455695840764614254743075}=0.78039866...$

分子も分母も限りなく大きくなる。つまり、有理数ではないから無理数といえて、無限小数である。

数学のイベント

一般向けの数学のイベントに参加してきた．
講師は飯高先生．ラマヌジャンの話題を中心に．

最後の質問コーナーもいろいろ出てきて面白かった．

「４万キロに赤道にベルトをつけて，そのベルトを２πフィート長くすると，地球との間に１フィート隙間ができる」
ラマヌジャンの家庭教師時代のエピソードの中の話題だが，そんなに隙間が空く理由がわからないとの質問．
「地球などというから，話が見えなくなる．半径rの円周は 2πr．半径を h 大きくし，半径 r+h の円周は 2π(r+h)
円周の差は 2π(r+h)-2πr は 2πr が消えて，残りは 2πh．これが抽象・数式の力．」

「lim_x→0 x/x の極限は 0÷0 となるのでは」
「x→0 というのは，x≠0 を仮定しているから，x≠0 のとき x/x=1で， 1 の極限はいつも 1」
とバッサリ．

「円周を直径で割ったのが円周率で，巻き尺で円周を測り，物差しで直径を測って計算してもそんなに桁数が正確といえないのでは」
ラマヌジャンの発見した，円周率を表す収束の速い級数に関しての質問だろう．
一般の人の素朴な疑問だろうな．
「どんな大きさの円でも成り立つのは不思議といえば不思議．それを相似ということで数学は片付けてしまう」
ライプニッツやマチンやラマヌジャンの公式が，円周率を表すというのは，別に証明されていることで，実測とは無関係．

「紀元前１年の・・・」
「暦の話は，天文学の木下先生に訊いて．」

「ゼータ関数，
ζ(2) = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ・・・＝π^2/6 ＞以前の記事「sin の因数分解」
ζ(4) = 1 + 1/2^4 + 1/3^4 + ・・・＝π^4/90
と偶数の時はわかっているけど，
ζ(3) = 1 + 1/2^3 + 1/3^3 + ・・・
などは，どうなんですか．」
「ζ(3)が無理数だというのは証明できているが，閉じた式は求められていない．
ζ(5)などは全く謎．
ζ(3) に一生をささげた人もいたようだけど，数学者はそんなできない問題はやらない．
できる問題だけ相手にする．」

高校生も数名来ていて，先生の著書をもらっていた．

数の正体をあばく

3.14 という数字を見たら
「円周率」
とわかる．

1.414
という数ならは，我々世代にとって，
「一夜一夜に・・・，だから√2」
とわかる．

これらは暗記しているから見抜けると言える．

暗記していない
「0.9672131」
や
「4.8989794」
は，わかるまいｗ

もちろん，
0.9672131＝9672131/100000000
4.8989794＝48989794/100000000＝24494897/50000000
ではあるが，気が利いていないｗ

こういう数の正体を簡単にあばくのに，古代（たぶん文明が発達する以前）から用いられているのが連分数である．

連分数（れんぶんすう、英: continued fraction）とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に正則連分数（英: regular continued fraction）ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。＞Wikipedia

連分数は，もともと最大公約数を突き止めるユークリッドの互除法であるともいえる．＞以前の記事

1173 と 1311
1311 - 1173 = 138
1173 - 138 × 8 = 69
138 - 69 × 2 = 0
より，最大公約数 69．

これを分数
1173 / 1311の約分
と考える．

素因数分解しようとして，共通因数 3 はすぐわかる．
ところが，23を見つけるのは，かなり大変だが，ユークリッドの互除法で 69 を見つけるのはたやすい（3回の割り算の余りから見つかる）．

ユークリッドの互除法は，
「真分数の逆数をとって，帯分数にする」
という手順と同値でもあり，これを全体としてみたとき，連分数となる．（帯分数とは2+(3/4) のような整数＋真分数で，真分数とは 3/4 のような分子＜分母である分数）

1173 / 1311 の逆数 1311 / 1173 = 1 + 138/1173
真分数 138/1173 の逆数 1173 / 138 = 8 + 69/138 = 8 + 1/2

最後に 69 で約分したが，それが最大公約数なので，69で元の分数が約分できるといえる．

この，「真分数の逆数をとって，帯分数にする」を一つの数式にしたものが，「連分数」なのである．

このワザはユークリッドの互除法と言われるが，もちろんユークリッドが発明したのではなく，古代からおこなわれていたワザをユークリッドが証明して書物にしたのが最初なのだろう．
こんなことは，古代の人にとっては常識的な計算方法で，円周率の近似分数（22/7 = 3.142857 や 355/113 = 3.1415929）などは連分数から求めたはずである．

1173 / 1311 を連分数にしてみる．

測る

3.141592653589793238462643383279502884
まで覚えている．円周率．＞くろべえ「円周率」

測ったりするのには普通は 3.14 で十分である．

海抜ゼロで測る子午線の1周は4万キロ（200年前の定義）．その直径は
4万キロ÷π＝12732.39544735162686151070106980114896キロ
つまり，
12732キロ395メートル447マイクロメートル351ナノメートル626ピコメートル・・・

この値にどれだけ意味があるかといえば，そもそも地球は球じゃないし，赤道の長さは子午線より70キロ以上長いし．意味は無い．
円周率は，日常 3.14 あるいは 3と少し で十分な精度である．

測量で5桁．GPS衛星のように高速で飛ぶものはもっと有効数字は必要となるが，40桁も使うことはない．

40桁も覚えて何の役にも立たないと思いきや，そうでもない．
「すごいだろー」
授業でと威張れるし，それである程度の尊敬も得られるという，実に有用な数値である．

「総合」の授業で，そんな話をしてから，
「プラスチック製の定規と竹の定規，何が違うと思う？」
と手に取らせる．

材質はもちろん違う．
見た目，プラスチックは 0 と 30 の左右に余裕がある．

「測る」ことの関して，最大の違いは，
「竹には 30cm と書いてあるけど，プラスチックには書いていないよ．」

プラスチックにはどこにも単位 cm が書いていない．
目盛は振ってあり，数字も書いてある．しかしプラスチックは cm とは言っていないから，精度に責任を持たないのである．
安く買えるプラスチック定規には，どこにも単位 cm がない．
竹はたぶんどこだかの機関で精度が保証されているのだろう．

関孝和

BS歴史館．いつも斬新な切り口で歴史を紹介する番組である．

今回は「江戸のスーパー日本人（1）」で関孝和を取り上げていた．
算数レベルの江戸時代の和算を一気に「数学」レベルにしてしまった偉人である．

江戸時代，塵劫記が出版され，空前の和算ブームが起きたが，和算は，問題ごとに解き方を考えるという，まさに算数レベルのアプローチをしていた．
そこへ，どんな問題でも解いてしまう手法を確立して一気に和算を，現在の大学レベルに押し上げてしまったのだ．

数列の和には関-ベルヌーイ数が必要となる．＞以前の記事「規則性あるの？」
＞Wikipedia

The Bernoulli numbers were discovered around the same time by the Swiss mathematician Jakob Bernoulli, after whom they are named, and independently by Japanese mathematician Seki Kōwa. Seki's discovery was posthumously published in 1712[1][2] in his work Katsuyo Sampo; Bernoulli's, also posthumously, in his Ars Conjectandi of 1713.

連立方程式を一般的に解こうとすると，当然「行列式」に行き当たる．以前の記事「授業担当者変更？」，以前の記事「ハミルトン・ケーリー」

円周率の計算にはやはり微積分の知識が必要となる．＞以前の記事「円周率の数値計算」

同時代，ニュートン，ライプニッツ，ベルヌーイ ・・・が確立した数学を，日本で勘定方の役人をしながら独自に確立したのであった．
関孝和の業績を理解するには，大学レベルの数学の素養が必要となる．

sine の形

ラジアン(π=180度)をやると，πが角度の単位のように見えてくる．πは単位ではなく，円周率 3.14159である．
だから，グラフの目盛りを書くときは，
「π/2 = 1.6(90度)」
のように書くようにしている．

y=sinθのグラフ．

半周π=3.14(180度)，1周2π=6.3(360度) になるようにグラフを描くとこうなる．

y=1 になるのは π/2 = 1.6(90度)，y=－1 になるのは 3π/2 = 4.7 (270度)

すると，ラジアンの定義を忘れた生徒が
「どうして 1.6 が90度？」
と聞いてくる．
「一周が2πrだから，一周の角を2πにした．半周でπ=3.14，90度でπ/2=1.6」
＞以前の記事

でも，3.14 とか 1.6 を目盛りにとるのがめんどうなので，
「πは3に近いから1の目盛り3個分でいい」
ということにする．

アルキメデス

すイエんサー の中の5分アニメ，マリー＆ガリー．今回は，アルキメデス．
そこで出てきた彼の業績が3つ．

てこ，アルキメデススクリュー，円周率．

円周率は数学としても，やはり物理的なもののほうが多いな．
たとえば，アルキメデスの原理といえば，普通は浮体の原理だろう．つまり，風呂にざぶっと入って，ひらめいて，「エウレーカ！」とストリーキングした原理．

ガリーが「数学者だろ！」って突っ込みいれてたけれど，アルキメデスは数学者．

数学の本でアルキメデスの原理と言ったら，浮体の原理ではなく，

どんな正の数a, b をとっても，na＞b となる自然数 n が存在する．

あたりまえだが，アルキメデスは，この命題を球の体積や表面積を求める際の議論の出発点とした．
この命題は，実数論では，連続の公理など（上に有界な集合は上限を持つ）から証明はできる．

まぁ，言っていることは，数列 na には上界がないことだから，
lim na = ∞
と同値である．

a=1 なら
lim n = ∞
なので，それとも同値で，lim (1/n) =0 とも同値．

実数（順序体）で，これを取り上げる理由は，順序体の中には，これが成り立たないものを作ることができるからではある．
実数ではいつも成り立つから，実数がひとつながりであることがわかる．

円周率，桁数更新

このニュースのあと，質問サイトを見るといろんな質問が出てくる．

＞「そんなに求めて，何になる？」「実際何桁まで使う？」

実際に工学で使うのは，有効数字5,6桁くらいまでだろう．3.14159
こ れでも直径1kmの円周の長さが，3141m15cm9mm つまり誤差が 1mm以下ということになる．こんな精度が必要になる場面は，そうそうない．建築なら4桁 3.142 もあれば十分だし，日常生活なら3+消費税=3.15 でもいいｗ（将来，消費税が変わったら，使えないが．）

円周率を高速に計算する技術の目的は，計算結果数値そのものではなく，報道にあるとおり，利用技術の応用にある．

（省略）
計算で使ったプログラムの一部は今後一般公開する予定で、高橋准教授は「今回の成果は、物理学や化学分野の計算の大幅な高速化にも応用できる」と話している。
2009/08/17 19:28 【共同通信】

それから，

＞「無限にあるとなぜわかる？」「どうして分数にならないとわかる？」

というのもあって，次の報道への疑問だろう．

8月17日15時40分配信 毎日新聞
（省略）
円周率は円周と直径の比を表す数で「３．１４」で始まり、小数点以下の数字は無限に続く。また分数では表せない数だと証明されている。より多くのけたまで値を計算する試みが、世界各国で続いてきた。【高木昭午】

これは，以前ブログにも書いた．＞円周率は無限小数

円周率と無限の感覚

以前，書いた記事で，
＞円周率の計算記録が伸びるニュースが伝わると，「いつか終わるのだろうか」という素朴な疑問を持つ人もいるようだ．
と書いたが，
　　1÷3
に対して，「いつか終わるのだろうか」などと考える人はいない．
つまり，
　　1÷3 = 0.333・・・
は数字の並びを見ただけで，無限の感覚を持つことができる．
感覚的に無限が知覚できるのは，循環小数のほか
　　1,2,3,・・・
といった数の羅列とか，
　　「0以上1以下の実数は無限にある」
とか，いろいろあるだろう．
この「無限」の感覚が持てる・持てないの違いは何だろうか．

循環小数は
　　1÷7 = 0.142857 142857 ・・・
くらいでも，無限に繰り返しそうな感覚だが，
　　1÷61 = 0.016393442・・・
は循環節の長さが60桁もあるから，循環しないような気持ちになるかもしれない．
循環の長さが長いとき，「本当に循環するかな」という気持ちになるのは，その循環全体を瞬時に見渡せないからだろう．300桁くらい並べれば60桁の循環が納得できるだろうが．つまり，見渡せ得る循環小数には，無限を知覚させる力があるのだろう．

「有理数の無限小数は必ず循環する」というのは，論理の力でも，比較的簡単に納得できる．
＞以前の記事

しかし，円周率が，「無限に循環することのない小数」であることは，感覚ではなく「論理の力」でしかわからないという点で，難しいかもしれない．
循環するなら，「無限にある」と思えるが，循環しない無限だと無限を知覚することができず，「もしかして・・・？」という気持ちになるのだろう．

もちろん，「無理数は無限小数」という論理に基づいた感覚があれば，円周率が無限小数であることは「感覚」である．

まず，
　　「有限小数ならば有理数である．」
これは感覚的にも明らかだろう．
　　0.1234 = 1234/10000
となるからである．
この命題の対偶は
　　「有理数でないなら，有限小数でない．」
ここは論理の力である．
　　「PならばQである」
が真ならば，その対偶
　　「Qでないならば，Pでない」
も真となる．

　　「有理数でないなら，有限小数でない．」
において，有理数でない実数は無理数といい，有限小数でない実数を無限小数というから，
　　「無理数ならば，無限小数である．」
といえる．
つまり円周率が無理数であることが言えれば，自動的に無限小数となる．

円周率が無理数であることは，結構面倒で，数IIIの微積分の知識の上に，「背理法」という論理の力が必要．

背理法は，数学Aの「√2 が無理数である」の証明に出てくる．これは有理数であると仮定したら矛盾が出ることにより，無理数であることを結論する．
論理記号で書けば，
「p→q」の否定は
　　「￢(p→q)」⇔「￢(￢p or q)」⇔「￢￢p ＆ ￢q」⇔「p ＆ ￢q」
より，「xが√2ならば，xは無理数」の否定は「xが√2　かつ　xは有理数」となる．

円周率のときも同様に，円周率が有理数と仮定して，微積分の計算で矛盾を証明する．
＞以前の記事

このように，無理数は循環しない無限小数なのであるが，それは数字の並びだけど見ただけでは確信することはできず，論理の力を信じるしかないのだ．

ちなみに「論理」とは，人間の言語の中に自然にあるもので，それによって会話なり，人間社会なり，科学が成り立っているものである．どこか遠いところにあるものではない．

積分の質問

コメントで質問を受けた．
質問のコメント

コメントで答えようとおもったけれど，長くなったので記事に．

> 積分の概念って何?

積分は，とりあえず1変数実数値関数の場合（つまり高校数学のレベル）では「微分積分学の基本定理」によって，「微分の反対操作」でいいでしょう．つまり変化率を表す関数がわかっているとき，元の関数を突き止める操作．
たとえば，ある棒状のものが場所によって密度が異なるとき，密度の関数の積分が，棒のある長さの質量になります．
計算だけなら「微分の反対」，意味を考えるならリーマンの定理．どっちも無味乾燥な気がして，結局「微積って何？」となってしまいますねぇ．
円の面積$\pi r^2$を半径方向に微分すると円周$2\pi r$とか，容量Cのキャパシタに蓄電された電荷$CV$クーロンを電圧で積分すると，蓄電されたエネルギー$\frac{1}{2}CV^2$ジュールとか，世の中いろんなものに，微積の関係はある．

display2d: false;

Maxima を使っていて，巨大数や桁数の多い小数を表示させると桁数を省略してしまうのが何とかならんの？

2^512;
134078079299425970995740249982[95 digits]8828119465699464336
49006084096

小数を200桁表示させる命令のあと，円周率を表示．
fpprec:200;
bfloat(%pi);
3.1415926535897932384626433832[143 digits]521105559644622948
9549303819b0

と途中の95桁とか，143桁を省略してしまう．

生徒に見せるのに，でかい数がそのまま表示されるとそれだけで感動してくれるので，ちょっと困ったなと思ったけれど，解決．

display2d: false;
を実行する．


2^512;
134078079299425970995740249982058461274793658205923933777235
614437217640300735469768018742981669034276900318581864860508
53753882811946569946433649006084096

bfloat(%pi);
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749
445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066
470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055
596446229489549303819b0
と解決．

もともと
display2d: false;
は数式表示を2次元表示（添え字の上下を考慮）
$x^2+y^2$

からテキスト表示
x^2+y^2
にするための命令だが，こんなところに効いてくるとは．

本日の計算 ArcSin(x/(√(1+x^2))の導関数

$y=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
とおくと，
$\sin y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
左辺をxで微分．合成関数の微分公式で，

実数のココロ

結論から言うと「数直線」そのものではある．

四則計算と，大小関係（順序構造）に「連続」の性質が加わったのが実数だ．

四則計算と大小の性質は数式を使ってわかりやすいが，連続の性質は「言葉」だから抽象的である．たとえば「上に有界な実数の集合は上限を持つ」(Weierstrass)とか．
まあ，言っていることは当たり前で，言葉の意味を知ると「いったいわざわざ言う必要ある？」と思えてしまうけど，有理数の集合では「上限がない」ものもあるわけだ．

でも言いたいのは
「数直線，どこを切っても実数がある．」
これこそが連続のココロであり，実数のココロだ．信念といってもよい．

それが具体的に求める手段がなくても，「そこに実数がある」を保証するのが実数の公理（あるいは有理数の切断による実数の定義）であり，微積分などは「そこに実数がある」ことにしてすべての議論を展開する．
「実際に数字を並べなくても」，いや，「並べる方法が未知でも」である．

たとえば，「直径と円周との比」の円周率．
無理数であることが証明されるので，循環しない無限小数であり，すべての桁を求めることは不可能．
このことを以って，「そんな数はあるの？」と感じる人もいるようだが，数学では「そこに円周率がある」ことを公理で保証して議論する．
つまり実数の存在は，公理で保証（あるいは有理数の切断で実数を「定義(Dedekind)」）しなければならない「信念」でもある．

公理から証明されることのひとつに，「数列の各項の差がいくらでも小さくなればひとつの実数に収束」がある．（Cauchy列 という．）
つ まり小数を無限に並べる方法があれば，桁数が一桁伸びるごとに「差が1/10倍づつに縮まる」から実際に無限に並べて見せなくても，「そこに実数がある」 と証明されるのだ．だから無限に求める方法の確立している円周率は，無限に時間をかけなくても「存在する実数」といえる．


さらに，公理から証明される事実に，「単調増加列が，ある数よりいつも小さければ，一つの実数に収束する」という定理がある．
つまり上から押さえられているのに，増え続けるなら，どっかで止まるというもの．
なんだかとっても「あたりまえ」である．
このあたりまえと思えるこのことから，「数字を並べる方法が見つからなくても存在する」することが保証され，さまざまな実数の存在が保証される．

自然対数の底も$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$の極限として定義される．
この数列は自然数nを大きくすると単調に増加する．
しかし，３より小さいことが証明できる．
「単調増加列が，ある数よりいつも小さければ，一つの実数に収束する」という定理によって，（３より小さい数に）収束することが言える．
（実際は2.718281828459…）

高校の数学IIで出てくる指数関数
$2^3=8$
$2^{1.5}=2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{2^3}=\sqrt{8}$
については，
$2^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{2^m}$
と定義される．
これを見ると，指数が分数でなければ定義できない気がするが，「そこに実数がある」おかげで
$2^{\pi}=2^{3.14159\cdots}$
もアプリオリに定義されるのである．

実際次のように存在が保証される．
$2^{3.1}=2^{\frac{31}{10}}=\sqrt[10]{2^{31}}$
$2^{3.14}=2^{\frac{314}{100}}=\sqrt[100]{2^{314}}$
$2^{3.141}=2^{\frac{3141}{1000}}=\sqrt[1000]{2^{3141}}$
は単調に増加する．しかしどれもこれも
$2^{4}$
よりも小さい．
上から押さえられる単調増加列は収束（つまり存在←実数のココロ）するので，その極限（存在することが保証された実数）を
$2^{\pi}=2^{3.14159\cdots}$
と「定義」するのである．

中間値の定理も，実数の性質そのものである．
つまり連続関数f(x)が3から4に変わるとき，その途中の3.5を横切る．
つまり，f(a)=3.5となる「実数aがあるよ」というのである．当たり前ですか？
これが，「そこに実数があるよ」のココロで，初めて存在がアプリオリに保証される．

5次以上の方程式には（加減乗除と累乗根で表される）解の公式な存在しないことが証明されているが，100次関数 f(x) が 3から4 に変わるとき
f(a)=3.5
となる x=a が存在することが，保証される．

5次以上の方程式には解の公式が存在しないが，n次方程式には高々n個の解が存在することを保証するのは，「切ったところに数がある」実数のココロである．
（実際は数直線2本を直交させた複素平面上のn次関数の議論になるが．）＞代数学の基本定理


実数のひとつである円周率は人間の「言語」である．無限の桁数であっても結局は「言語」
5cmという長さも「言語」である．

5cmという長さが言語にあるなら，πcmも言語である．
数学は人間の言語の中にのみアプリオリに存在する．
数学では，5cmとπcmの存在に大差はないのだ．

---

linked: 1

円周率は無限小数で，さらに分数にならない

これは
「円周率は無理数である」
という一言で片付くのであるが．

円周率の話題は今までもたくさん書いている．＞サイト内の記事

円周率の計算記録が伸びるニュースが伝わると，「いつか終わるのだろうか」という素朴な疑問を持つ人もいるようだ．
もちろん，円周率は無理数なので，終わることはない．
実際の計算も，「無限に長い式」を途中で止めて，「今回は○桁」である．

そもそも，
「分数にならない実数を無理数という」
のであるから，無理数である円周率は分数にならないことも明らか．

さて，
「無理数ならば無限小数」
を示すことも，たやすいことである．

それはその対偶である，
「有限小数ならば分数（有理数）」
と同値だからである．

証明
小数n桁なら，分数の分母に$10^n$（0の個数がn個の100…0という数）をつかえば，分子も整数になる．

これは証明より，実例のほうが納得できる．
123.456789 という有限小数は
$\frac{123456789}{1000000}$
という分数（整数比）になるということである．

「有限小数ならば分数（有理数）」
が示されたのでその対偶
「分数（有理数）でないならば有限でない小数」
も正しい．ここで，
「分数（有理数）でない実数を無理数という．」
「有限でない小数を無限小数という．」
なので，言葉を置き換えれば，
「無理数ならば無限小数」
が言える．

ということで，円周率は無理数であることがわかっているので，分数で表すことができず，「無限小数」といえる．
同様に高校の教科書で，無理数であると証明している√2も無限小数である．


問題は円周率が無理数であることを証明すること．結構面倒だが，高校レベルの数学でできる．＞参考サイト(PDF)

大阪大学の入試問題になった．＞入試問題 大阪大学　後期４


さて，無限小数の中には，分数で表されるものもある．
つまり，無理数ならば分数にならないし無限小数だが，無限小数の中にも分数（有理数）がある．（正しい命題の逆が成り立つとは限らない）
1÷3 = 0.333・・・
1÷7 = 0.142857 142857 ・・・
分数には，このように循環する無限小数がたくさんあるが，逆に，循環小数はすべて分数（有理数）であるといえる（高校の数学III）．たとえば，
0.5736866 5736866 5736866・・・＝ 5736866/9999999 = 1234/2151
のように必ずできる．＞循環小数の話題

したがって，無理数である円周率や√2は，循環もしない無限小数といえるし，無理数なので分数にもならない．

さて，5736866/9999999 = 1234/2151 の約分はユークリッドの互除法を使う．＞過去の記事
＞くろべえ「互除法」関連の記事

ユークリッドの互除法
9999999 - 5736866 = 4263133
5736866 - 4263133 = 1473733
4263133 - 1473733 × 2 = 1315667
1315667 - 158066 × 8 = 51139
158066 - 51139 × 3 = 4649
51139 - 4649 × 11 = 0
より最大公約数 4649．
5736866 ÷ 4649 = 1234
9999999 ÷ 4649 = 2151
5736866 / 9999999 = 1234 / 2151

追記＞円周率がずっと続くのはなぜ？

何にでも番号をつける

昨日のつづき．
整数も有理数も自然数と1対1．つまり番号が振れるので，「可付番」とか「可算」ということがある．
「並べられれば可付番で，濃度は自然数と同じである．」

昨日は偶数や有理数に番号を振ってみた．
実は無理数の一部にも番号が振れる．

たとえば整数係数の代数方程式（いわゆる○次方程式），
$4x+3=0$，$3x^2-2x+1=0$，…
も１次，２次，…の順で係数も１から順に大きくしていけば，原理的にはすべてを並べられるはずから，これらの解になる無理数も「可付番」となる．
したがって，無理数の中でも$\sqrt{2}$とか$\sqrt[3]{5}$なども並べた代数方程式の解の中にあるはずだから，自然数と１対１の番号が振れる（可付番）．
だから，昨日の記事で，
「自然数の濃度＝有理数の濃度＜実数の濃度」
と書いたが，√2とかの代数方程式の解の無理数をいくら動員しても自然数の濃度と同じといえる．

実際に濃度がでかいのは，「無理数」の中でも代数方程式の解にならない円周率や自然対数の底である「超越数」の濃度だが，個々の無理数が超越数であるかどうかは難しい問題で「超越数」とわかっている無理数は数えるほどしかない．
たとえば，小数0.101001000100001000001…は規則的に並んでいるから式を使って
$\frac{1}{10}+\frac{1}{1000}+\frac{1}{1000000}+\frac{1}{10000000000}+\frac{1}{1000000000000000}+\cdots$
つまり
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{10^{\frac{n(n+1)}{2}}}$
と書ける．
規則的だが，その規則性から循環しない無限小数であることがわかる．したがって，無理数であることは明白だが，これが代数方程式の解になるかどうかはわからない．（これは自分の知識・学力が不足しているだけかも知れぬが）

sin1度の厳密解

sin1ではなくsin1度．

普通は級数展開（マクローリン展開）
\[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\]
を使えば任意の精度で求まるので，コンピュータで数値計算を行う場合はこの式を使う．（ただし，エクセルなどはCPUに組み込まれた関数を呼び出しており，CPUの関数は CORDIC を用いている．）

たとえば，角度が1（ラジアン）のとき，sin1なら
\[\sin 1=1-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\frac{1}{7!}+\cdots = 0.841470985\]
で あるが，1(ラジアン)は半径と同じ長さの弧長に対する円の中心角なので，それに対する　sin1 は有理数係数の代数方程式の解にはならない．（古代ギリシャの３大問題，「円周率と同面積の正方形の作図不可能」に帰着する）したがって，1（ラジアン）の角は，コン パスと定規で作図できない．
60度=π/3=1.04719755 なので，sin 1 は sin60度=0.866025404より少し小さい．

sin1度なら
1度=π/180=0.0174533
なので，sin1度は
\[0.0174533-0.0174533^3/6+0.0174533^5/120-0.0174533^7/5040\]
くらいまでやれば十分である．＞ google電卓
sin1度としては十分の精度である．＞ google電卓


1度は，中心角を360等分した大きさなので，sin1度は代数方程式の解になる．
したがって，ここでは敢えて代数方程式を解き，整数の加減乗除と累乗根を用いて厳密解を求めるという，不毛の作業を行ってみる．
流れとしては36度の三角比(sin cos)と30度のそれを使って 6度の cos を求め，半角公式で3度を求め，3倍角公式を逆算して1度にする．

不思議な数πの伝記

正月読書その２
＞不思議な数πの伝記

πの歴史やその周辺の話題が書かれている．同じ出版社と訳者の「素数に憑かれた人たち」よりずっと易しい内容で，高校生にも楽に読めるだろう．「素数に憑かれた人たち」は読み終わるのに半年もかかってしまった．＞柏うろうろ

さて，この程度の数学ならほとんど既知なので斜め読み状態できる．数学的内容は既知であっても，やはり歴史の再認識は楽しい．また，知っているとしてもそれは結果だけであって，その歴史的な背景や数学者の思考の過程を知ることができるのは，やはり有益である．
つまり，その思考に至った「必然」というものがあるはずなのだ．


斜め読みの最中，1箇所，式変形をいろいろ楽しんだ．

排気量399cc

400ccのカタログを見ると，399ccとか 398ccになっている．
原付も49ccなどとなっている．
これは法律で400cc(50cc)を超えると違う免許になるからなのであるが，なぜ400ccジャストで作らないか．

作らないのではなく，作ることができないのである．
いや，工作できないというわけではなくて，「カタログデータ」で400ccジャストに出来ない．

円筒型のシリンダーのボアやストロークのカタログデータは 0.1mm刻み．
そして，そこから計算する容積計算で必ず無限小数の円周率 3.14159265 を使う．
さらに，カタログに記載する排気量は小数切捨てだからである．

CB400SF や XJR400 の場合
ボア55.0mm，ストローク42.0mmの4気筒
だから
π(5.5/2)^2×4.2×4=399.139347cc
の小数を切り捨てて 399cc という表示．

RZ50の場合
ボア40.0mm，ストローク39.7mmの1気筒
だから
π(4/2)^2×3.97=49.8884913cc
の小数を切り捨てて 49cc という表示．

法律では「400ccを超えると大型二輪免許が必要」となる．
カタログで400ccと表示する二輪車は，400を超えた小数を切捨てて400ccになっているはず．
これだと，400を超えているので，大型二輪免許が必要である．

たとえば，CB400のストロークを0.1mm伸ばすと
π(5.5/2)^2×4.21×4＝400.089678cc
の小数を切り捨てて400ccであるが，400ccを超えているため大型二輪免許が必要となる．

RZ50のボアを0.1mm広げると
π(4.01/2)^2×3.97＝50.1382456 cc
の小数を切り捨てて50ccであるが，50ccを超えているため原付二種の分類となり普通二輪（小型限定）免許が必要となる．

円筒形のシリンダーを使い，そのサイズを0.1mm刻みのボア・ストロークでカタログに載せた場合，そこからの容積計算に無限小数の円周率を使うため，排気量は必ず1cc未満の小数がでてくる．
計算結果をジャスト400ccにすることはできない．

１辺8.00cmの正方形のシリンダー（？）に，ストローク6.25cmのクランクなら，ジャスト400ccになり，堂々とカタログに400ccと載せられ，「400cc以下」に合致するので普通二輪免許で乗れる．

あるいは，カタログに掲載するのを数値ではなく「円周率πを含んだ式」にすればいいのである．
ボア55mm ストローク$\frac{16000}{121\pi}$(およそ42.090563462319427641357689486946)mm なら排気量は
$4\times\pi\times(\frac{55}{10}\div 2)^2\times\frac{16000}{121\pi}$
でπが約分されジャスト400ccとなる．