「2の奇数乗を3で割った余りは2」
を前回の記事で，2項定理を使ってゴリゴリやる方法と，合同式を使ったスマートな方法でやってみた．＞以前の記事
が，もう一つ，induction でもいいな．こっちも「ごりごり」に比べれば多少簡潔．
正の奇数 \( q\) に対して \(2^q\) を 3で割ると余り2の証明
\(q=2n-1\) とする．
\(n=1\)のとき，\(q=1\) より \(2^1=2\) を3で割ると余り2より成り立つ．
nのとき成り立つと仮定すると，
\(2^{2n-1}=3k+2\)（\( k\)は整数）
と表せる．
両辺 4 倍すると，
\(4\times2^{2n-1}=4\times(3k+2)\)
\(2^{2n+2-1}=12k+8\)
\(2^{2(n+1)-1}=12k+6+2=3(4k+2)+2\)
より，n+1のときも3で割って2余る．
したがって，すべての \( n\) について成り立つ．
＞数学的帰納法に関する記事
くろべえ JG1BGT の受け狙い人生 >> 数学，学校，旅行，単車，鉄道，囲碁，トロンボーン，ドラム，アマチュア無線 JG1BGT，CWが好きです。でもQRPのほうがもっと好きです。
2016年2月27日土曜日
素数 p，q を用いて，p^q + q^p と表される素数をすべて求めよ．
久々の数学ネタ．
素数 p，q を用いて，\(p^q+q^p\) と表される素数をすべて求めよ．
だって．＞twitter
答えは知ってて 17 だけど，普通は，まずは試行錯誤して，並ぶ数字から考えるしかない．というか 17 がすぐ見つかるけれど，「すべて求めよ．」だから，17以外にないことは証明しなければならない．そっちが大変．
\(2^2+2^2=4+4=8\) でハズレ．
って，偶数+偶数=偶数だから，p=q=2 では素数にはなりえない．
さらに，奇数+奇数=偶数 だから， p，q が両方とも奇数というものありえない．
というもの，このとき，\(p^q\)，\(q^p\) どちらも，素因数 2 が入り込む余地がなく，どちらも奇数だからである．
だからp，qの片方は 2 で，もう一方は 3 以上の素数といえる．．
\(2^3+3^2=8+9=17\) で命中．
\(2^5+5^2=32+25=57=3\times19\) でハズレ．
\(2^7+7^2=128+49=177=3\times59\) でハズレ．
\(2^{11}+11^2=2048+121=2169=3\times723\) でハズレ．
\(2^{13}+13^2=8192+169=8361=3\times2787\) でハズレ．
命中以外は，なんか 3の倍数が並ぶなぁ．
＋ の左側，2の奇素数乗 8，32，128，2048，8191 は，どれも3で割ると 2 余る．
＋ の右側，5以上の素数の2乗 25，49，121，169 は，どれも3で割ると 1 余る．
2 余る数と，1余る数を足せば，当然3で割り切れるわけだ．
だから，答えは 17 しかなく，p=2で qが5以上の素数の時，いつも3で割り切れることを「証明」して解答の完成となる．
実際の証明は，
(1)「2の奇素数乗は，3で割ると 2 余る．」
と
(2)「5以上の素数の2乗は，3で割ると 1 余る．」
の2本を書いて，
(3) (1)(2)より「2 余る数と，1余る数を足せば，3で割り切れる」から
「p=2で qが5以上の素数の時，\(p^q+q^p\) は3で割り切れる」と言えばよい．
ここからは，証明の技術的な問題．
素数 p，q を用いて，\(p^q+q^p\) と表される素数をすべて求めよ．
だって．＞twitter
答えは知ってて 17 だけど，普通は，まずは試行錯誤して，並ぶ数字から考えるしかない．というか 17 がすぐ見つかるけれど，「すべて求めよ．」だから，17以外にないことは証明しなければならない．そっちが大変．
試行錯誤
素数は 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...\(2^2+2^2=4+4=8\) でハズレ．
って，偶数+偶数=偶数だから，p=q=2 では素数にはなりえない．
さらに，奇数+奇数=偶数 だから， p，q が両方とも奇数というものありえない．
というもの，このとき，\(p^q\)，\(q^p\) どちらも，素因数 2 が入り込む余地がなく，どちらも奇数だからである．
だからp，qの片方は 2 で，もう一方は 3 以上の素数といえる．．
\(2^3+3^2=8+9=17\) で命中．
\(2^5+5^2=32+25=57=3\times19\) でハズレ．
\(2^7+7^2=128+49=177=3\times59\) でハズレ．
\(2^{11}+11^2=2048+121=2169=3\times723\) でハズレ．
\(2^{13}+13^2=8192+169=8361=3\times2787\) でハズレ．
命中以外は，なんか 3の倍数が並ぶなぁ．
＋ の左側，2の奇素数乗 8，32，128，2048，8191 は，どれも3で割ると 2 余る．
＋ の右側，5以上の素数の2乗 25，49，121，169 は，どれも3で割ると 1 余る．
2 余る数と，1余る数を足せば，当然3で割り切れるわけだ．
だから，答えは 17 しかなく，p=2で qが5以上の素数の時，いつも3で割り切れることを「証明」して解答の完成となる．
実際の証明は，
(1)「2の奇素数乗は，3で割ると 2 余る．」
と
(2)「5以上の素数の2乗は，3で割ると 1 余る．」
の2本を書いて，
(3) (1)(2)より「2 余る数と，1余る数を足せば，3で割り切れる」から
「p=2で qが5以上の素数の時，\(p^q+q^p\) は3で割り切れる」と言えばよい．
ここからは，証明の技術的な問題．
2016年2月24日水曜日
結果発表
ここにきて，たくさん発表されたっぽい．
県外局・シングルオペ・電信 ＨＦローバンド 34位/40 上位 85%
都外の部・7MHzバンド 14位/17 上位 82%
県外局・電信・7MHz 18位/21 上位 86%
兵庫県外局 電信・電話 シングルオペ QRP 9位/13 上位 69%
上位7割とはずいぶん頑張った感じ．
電信 県外局 ｼﾝｸﾞﾙｵﾍﾟ オールバンドＣＷ 57位/62 上位 92%
これは移動先から参加．
オール岡山コンテトス
2015/9/13の オール岡山コンテスト の結果＞結果のページ県外局・シングルオペ・電信 ＨＦローバンド 34位/40 上位 85%
東京ＣＷコンテスト
2015/10/25の 東京ＣＷコンテスト の結果＞結果のページ都外の部・7MHzバンド 14位/17 上位 82%
高知県マラソンコンテスト
2015/11/7の 高知県マラソンコンテスト の結果＞結果のページ県外局・電信・7MHz 18位/21 上位 86%
オール兵庫コンテスト
2016/1/4の オール兵庫コンテスト の結果＞結果のページ兵庫県外局 電信・電話 シングルオペ QRP 9位/13 上位 69%
上位7割とはずいぶん頑張った感じ．
オール宮城コンテスト
2016/1/17の オール宮城コンテスト の結果＞結果のページ電信 県外局 ｼﾝｸﾞﾙｵﾍﾟ オールバンドＣＷ 57位/62 上位 92%
これは移動先から参加．
2016年2月23日火曜日
ログ
相変わらず自宅アンテナ撤去中．
平日は美浜区からKX1で．
Feb 15(月) 1交信
美浜区移動運用
JJ3KTW OKUさんとラバースタンプ．
Feb 16(火) 1交信
美浜区移動運用
JF2WME HARUさんとラバースタンプ
Feb 17(水) 1交信
美浜区移動運用
JJ3KTW OKUさんとラバースタンプ．
Feb 18(木) 1交信
美浜区移動運用
Feb 19(金) 1交信
美浜区移動運用
8J290Y/2 JARL90周年記念局．
Feb 20(土) 2交信
A1クラブオンエアミーティングにチェックイン．
700回記念ということで，7局がキー局．そのうち2局だけチェックインして，マゴの保育園へ．
Feb 21(日) 3交信
FEA NETに参加．コントローラはJS1QIZ TAKさん．
前日のマゴのイベントを話題にしたけど，コンディションが悪くて，こちらの内容があまり伝わっていない感じだった．
移動サービス局と2交信．
平日は美浜区からKX1で．
Feb 15(月) 1交信
美浜区移動運用
JJ3KTW OKUさんとラバースタンプ．
Feb 16(火) 1交信
美浜区移動運用
JF2WME HARUさんとラバースタンプ
Feb 17(水) 1交信
美浜区移動運用
JJ3KTW OKUさんとラバースタンプ．
Feb 18(木) 1交信
美浜区移動運用
Feb 19(金) 1交信
美浜区移動運用
8J290Y/2 JARL90周年記念局．
Feb 20(土) 2交信
A1クラブオンエアミーティングにチェックイン．
700回記念ということで，7局がキー局．そのうち2局だけチェックインして，マゴの保育園へ．
Feb 21(日) 3交信
FEA NETに参加．コントローラはJS1QIZ TAKさん．
前日のマゴのイベントを話題にしたけど，コンディションが悪くて，こちらの内容があまり伝わっていない感じだった．
移動サービス局と2交信．
2016年2月15日月曜日
共用地の枝払い
まだ，自宅周りの共用地の枝払い作業が終わっていないっぽいので，自宅ではアンテナを下している．
Feb 8(月) 2交信
千葉市美浜区移動．
Feb 9(火) 1交信
千葉市美浜区移動．
Feb 10(水) 3交信
千葉市美浜区移動1．
帰宅後，夜自宅でアンテナを張って2交信．
Feb 11(木) 1交信
休日だったが，共用地の枝払いが始まったので，1交信でアンテナ撤去．
夕方，自宅前の垣根がすっきりした．
Feb 12(金) 1交信
千葉市美浜区移動．
Feb 13(土) 3交信
A1クラブオンエアミーティングにチェックイン．キー局は JH2CMH SEI さん．周波数を +0.1kHzずらした．
その後，500ミリワットにパワーを下げて 2交信．
あとはマゴと出かけたので，アンテナを片付ける．
Feb 14(日) 4交信
FEA ネットに終了間際にチェックイン．順番が回ってきたら終了予定の9時を過ぎてしまって申し訳ない．
その後，500ミリワットで3交信．
日曜は枝払い作業をやっていないっぽいので，アンテナはそのままでよさそうだったけれど，念のため出かける前に撤去．
自宅前の枝を払ってくれると，アンテナが張りやすいのだがなぁｗ
Feb 8(月) 2交信
千葉市美浜区移動．
Feb 9(火) 1交信
千葉市美浜区移動．
Feb 10(水) 3交信
千葉市美浜区移動1．
帰宅後，夜自宅でアンテナを張って2交信．
Feb 11(木) 1交信
休日だったが，共用地の枝払いが始まったので，1交信でアンテナ撤去．
夕方，自宅前の垣根がすっきりした．
Feb 12(金) 1交信
千葉市美浜区移動．
Feb 13(土) 3交信
A1クラブオンエアミーティングにチェックイン．キー局は JH2CMH SEI さん．周波数を +0.1kHzずらした．
その後，500ミリワットにパワーを下げて 2交信．
あとはマゴと出かけたので，アンテナを片付ける．
Feb 14(日) 4交信
FEA ネットに終了間際にチェックイン．順番が回ってきたら終了予定の9時を過ぎてしまって申し訳ない．
その後，500ミリワットで3交信．
日曜は枝払い作業をやっていないっぽいので，アンテナはそのままでよさそうだったけれど，念のため出かける前に撤去．
自宅前の枝を払ってくれると，アンテナが張りやすいのだがなぁｗ
2016年2月9日火曜日
1月のアクティビティ
1月は，A1クラブオンエアミーティングのキー局を務めた上，コンテストも多くて，全部で282交信．
100% QRP(5ワット以下)，500ミリワットは 3
CW(モールス)率 100%
移動運用 76（飯山市54，仙台市8，千葉市15）
1日1交信は達成．
海外1．オンエアミーティングで韓国からのチェックイン．
コンテストは 76 (NYP 37，兵庫 11，埼玉 21，宮城 7)
A1 クラブオンエアーミーティング94．
5回中1回キー局担当92交信，2回チェックイン．
FEA NET は 2回参加．
それらを除いた通常交信は110 (39.0%)．
28交信がシグナルレポート（599BK）だけではない交信．さらに3（和文1）交信が10分以上のラグチュー．
和文は 4交信だったけれど，2つはオンエアミーティング中だったり，コンテスト中だったりｗ
和文の知り合いに会うと，ちょこっと和文挨拶を入れてしまう．
100% QRP(5ワット以下)，500ミリワットは 3
CW(モールス)率 100%
移動運用 76（飯山市54，仙台市8，千葉市15）
1日1交信は達成．
海外1．オンエアミーティングで韓国からのチェックイン．
コンテストは 76 (NYP 37，兵庫 11，埼玉 21，宮城 7)
A1 クラブオンエアーミーティング94．
5回中1回キー局担当92交信，2回チェックイン．
FEA NET は 2回参加．
それらを除いた通常交信は110 (39.0%)．
28交信がシグナルレポート（599BK）だけではない交信．さらに3（和文1）交信が10分以上のラグチュー．
和文は 4交信だったけれど，2つはオンエアミーティング中だったり，コンテスト中だったりｗ
和文の知り合いに会うと，ちょこっと和文挨拶を入れてしまう．
2016年2月8日月曜日
先週のログ
この週から自宅周辺の樹木の剪定なので自宅アンテナ撤去で，勤務先に持っていった KX1で．
1交信できれば終了するので，交信数は低迷．
Feb 1(月) 朝1交信
千葉市美浜区移動
Feb 2(火) 朝1交信
千葉市美浜区移動
Feb 3(水) 2交信
千葉市稲毛区移動
朝，出張先に持って行ってｗ
千葉市美浜区移動
夕方，学校に戻って聞いたら，愛媛コンテストやってて1交信．
Feb 4(木) 昼1交信
千葉市美浜区移動
Feb 5(金) 朝1交信
千葉市美浜区移動
Feb 6(土) 2交信
朝だけアンテナ設置し，A1クラブオンエアミーティングにチェックインできた．
500ミリワットでもう1交信してアンテナ撤去．
Feb 7(日) 朝1交信
千葉市美浜区移動
部活で出勤したので．
1交信できれば終了するので，交信数は低迷．
Feb 1(月) 朝1交信
千葉市美浜区移動
Feb 2(火) 朝1交信
千葉市美浜区移動
Feb 3(水) 2交信
千葉市稲毛区移動
朝，出張先に持って行ってｗ
千葉市美浜区移動
夕方，学校に戻って聞いたら，愛媛コンテストやってて1交信．
Feb 4(木) 昼1交信
千葉市美浜区移動
Feb 5(金) 朝1交信
千葉市美浜区移動
Feb 6(土) 2交信
朝だけアンテナ設置し，A1クラブオンエアミーティングにチェックインできた．
500ミリワットでもう1交信してアンテナ撤去．
Feb 7(日) 朝1交信
千葉市美浜区移動
部活で出勤したので．
2016年2月3日水曜日
久しぶりの500ミリワット
Jan 25(月) 1交信
千葉市美浜区移動 KX1 12V 4W
CQ 出して，JA1PHE NOBUさんとラバースタンプ．
Jan 26(火) 1交信
千葉市美浜区移動 KX1 12V 4W
Jan 27(水) 2交信
千葉市美浜区移動 KX1 12V 4W
8J100JRC 無線電信法制定から始まる日本の無線の歴史100周年／日本無線創立100周年
JR1SYD/1 KAZUさんとラバースタンプ．
Jan 28(木) 1交信
千葉市美浜区移動 KX1 12V 4W
Jan 29(金) 1交信
千葉市美浜区移動 KX1 12V 4W
Jan 30(土) 2交信
A1クラブオンエアミーティングのキー局が弱いし，聞こえるとパイルアップ．
届きそうもないので，CQを出して，JA4MRL MASAGさんとラグチュー．残念ながら KX1ではない．KX1は美浜区に置きっぱなし．
その後，A1クラブオンエアミーティングにチェックイン．キー局は JA9BSL MINOさん．
Jan 31(日) 6交信
FEA NETに参加．コントローラは JL1GEL AKIさん．スキップして fading が深く，あまり届いていない感じだった．
500ミリワットで3交信．
500ミリワットは昨年10月以来．＞以前の記事「全市全郡と鳥取のコンテスト」
空は春の気配？
8J1JAG/1 JAG第40回全国総会特別局
千葉市美浜区移動 KX1 12V 4W
CQ 出して，JA1PHE NOBUさんとラバースタンプ．
Jan 26(火) 1交信
千葉市美浜区移動 KX1 12V 4W
Jan 27(水) 2交信
千葉市美浜区移動 KX1 12V 4W
8J100JRC 無線電信法制定から始まる日本の無線の歴史100周年／日本無線創立100周年
JR1SYD/1 KAZUさんとラバースタンプ．
Jan 28(木) 1交信
千葉市美浜区移動 KX1 12V 4W
Jan 29(金) 1交信
千葉市美浜区移動 KX1 12V 4W
Jan 30(土) 2交信
A1クラブオンエアミーティングのキー局が弱いし，聞こえるとパイルアップ．
届きそうもないので，CQを出して，JA4MRL MASAGさんとラグチュー．残念ながら KX1ではない．KX1は美浜区に置きっぱなし．
その後，A1クラブオンエアミーティングにチェックイン．キー局は JA9BSL MINOさん．
Jan 31(日) 6交信
FEA NETに参加．コントローラは JL1GEL AKIさん．スキップして fading が深く，あまり届いていない感じだった．
500ミリワットで3交信．
500ミリワットは昨年10月以来．＞以前の記事「全市全郡と鳥取のコンテスト」
空は春の気配？
8J1JAG/1 JAG第40回全国総会特別局
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