ふつう倍角公式は sin cos の倍角公式から作る。
$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
より
$\tan2\alpha=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha-1}$
分母分子を $\cos^2\alpha$ で割って、
$=\frac{\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{2\cos^2\alpha-1}{\cos^2\alpha}}=\frac{2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{2-\frac{1}{\cos^2\alpha}}$
相互関係の公式 $1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}$ より
$=\frac{2\tan\alpha}{2-(1+\tan^2\alpha)}=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
これを三角形の性質からつじつまを合わせてみる。
一つは内角の2等分線の性質。
図において、
$m:1=(\tan2\alpha-\tan\alpha) : \tan\alpha$
よって $m=\frac{\tan2\alpha-\tan\alpha}{\tan\alpha}$
求める$\tan2\alpha=x$ とおくと、
$m=\frac{x-\tan\alpha}{\tan\alpha}$
$m^2=\tan^2 2\alpha+1^2=x^2+1$
$m$ に最初の式を代入して、
$(\frac{x-\tan\alpha}{\tan\alpha})^2=x^2+1$
これを $x$ について解く。
$x^2-2x\tan\alpha +\tan^2\alpha=\tan^2\alpha (x^2+1)=x^2\tan^2\alpha+\tan^2\alpha$
$x^2-2x\tan\alpha =x^2\tan^2\alpha$
$x\neq0$で両辺を割って、
$x-2\tan\alpha =x\tan^2\alpha$
$x-x\tan^2\alpha =2\tan\alpha$
$x(1-\tan^2\alpha) =2\tan\alpha$
$x=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha }$
よって
$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha }$
を得る。
