ヘルメット着弾

3月15日にネットで買ったもの。自転車用。

翌日から月が替わるから，問い合わせようかなと思っていたら，今日来た。

4月を前にしてだいぶ混んでいたようだ。

コンテスト結果

片っ端から参加しているコンテストの結果．

第41回電通大コンテスト

2022/07/16の第41回電通大コンテスト の結果＞結果のページ
シングルバンド部門7 MHz　86位/103　上位 83%

局数 21

得点 54

マルチ 10

総得点 540

都道府県番号 12

資格 H

第43回全市全郡コンテスト

2022/10/09の第43回全市全郡コンテスト の結果＞結果のページ
電信シングルオペオールバンド　196位/221　上位 89%
24 × 24 ＝ 576 P

東京 CW コンテスト

2022/10/23の東京 CW コンテスト の結果＞結果のページ
都外電信7MHz バンド 　20位/20　上位 100%
交信数 6

点数 7

マルチ 5

総得点 35

東京 UHF コンテスト

2022/11/23の東京 UHF コンテスト の結果＞結果のページ
都外一般電信電話430MHz バンド　112位/117　上位 96%
交信数 -

点数 -

マルチ -

総得点 3

なんか，ログをミスったかな．でも，総得点だけで順位に入ってはいる．

第３回おいでませ山口コンテスト

2023/01/22の第３回おいでませ山口コンテスト の結果＞結果のページ
山口県外局電信・電話部門ＨＦ　113位/113　上位 100%

交信局数 1

得点 1

マルチ 1

総得点 1

ちゃんと最下位．

第１回　ＪＡＲＬ岩手県支部　いわてWINTERコンテスト

2023/02/11の第１回　ＪＡＲＬ岩手県支部　いわてWINTERコンテスト の結果＞結果のページ
シングルオペ７ＭＨｚバンド　81位/108　上位 75%

交信局数 11

得点 13

マルチ数 2

合計得点 26

景品をいただいた．

2023 お年玉電鍵コンテスト "NYK"

2023/02/25の2023 お年玉電鍵コンテスト "NYK" の結果＞結果のページ
オーナー部門　56位/81　上位 69%
QSO 24

POINT 40

MULT 15

TOTAL 600

参加証

卯年のキー

どこもかしこ

いたるところで桜

三咲小学校

二和駅の方が近い気がするけど，三咲。

大都市コンテストなど

先週のログ

Mar 20(月) 4交信

8J1M 

第31回日本医学会総会2023東京

公園アワードサービス局 新潟県三条市 PK089 保内公園

8J3S/3 滋賀県犬上郡甲良町 滋賀県政150周年記念事業 特別局

JO1DGE 神奈川県小田原市 AKIさんとGivinBackラバースタンプ

ZOTA 寅/X op

Mar 21(火) 45交信

JL1MWY 横浜市保土ヶ谷区 YUKIさんとラバースタンプ

第６３回東海ＱＳＯコンテスト 3

第 53 回 大都市コンテスト 40

JJ1FXF 千葉県八街市 HIROさんとGivinBackラバースタンプ

ZOTA 寅/卯 op

Mar 22(水) 5交信

公園アワードサービス局 埼玉県東松山市 PK159 IC SA

AWT Contest 2

Scores

Score Breakdowns

Comments

Calls Used

 JG1BGT

Mar 23(木) 2交信

JA7JRC 山形県西置賜郡飯豊町 SATOさんとラバースタンプ

Mar 24(金) 2交信

公園アワードサービス局 京都府久世郡久御山町 PK44 IC 久御山中央公園/淀総合運動場

8N3MKX/3 奈良県桜井市 纒向学研究センター設立10周年 記念局

Mar 25(土) 28交信

CQ ZOTA で25，ZOTAを呼んで 1

500ミリワットで 2

500ミリワットで 8N2MR 名古屋市守山区制60周年記念局

Mar 26(日) 2交信

和文交信1

8J1M 日本医師アマチュア無線連盟日本医学会総会記念局

鉄道

マゴと一緒にお出かけ．

まずは大宮駅で

景品

2月11のいわてWINTERコンテストに参加したら，景品をいただきました．

いつも交信数が少ないので，抽選で当たるくらいでしか何かもらえない．

ありがとうございます．

Zodiac On The Air

ZOTA交信はたのしいｗ>A1C ZOTAへのご案内

Mar 13(月) 4交信

記念局 8J1M 第31回日本医学会総会2023東京

JA3MQY 奈良県御所市 KENさんとラバースタンプ

JJ1FXF 千葉県八街市 HIROさんとGivinBackラバースタンプ ZOTA 丑/卯

JO1DGE 神奈川県小田原市 AKIさんとGivinBack5分ラグチュー ZOTA 丑/x

op GB ft991am 30w dp wire full size/ft817 5w dp

Mar 14(火) 3交信

朝，JJ0TJS 長野県安曇野市 HARUさんとラグチュー5分

op jcc cloudy 1c/rainy7c

JA2MHY 静岡県沼津市 YAMAさんとラバースタンプ

Mar 15(水) 6交信

JN2OCV 静岡県伊東市 KEIKOさんとラバースタンプ．

湯けむりアワードサービス局 新潟市西区 YU2279 緒立温泉

8J3S/3 滋賀県大津市 滋賀県政150周年記念事業 特別局

AWTコンテスト 1

Mar 16(木) 7交信

CQ出して，JM2LOF 静岡県富士宮市 TERRYさんとラグチュー 11分

op 5w dp 4h fine17c/50w up 10mH dp cloudy16c

CQ出して，JA1UEH 栃木県真岡市 MARUさんとラバースタンプ．

JN7DOR 岩手県一関市 YOSHIさんとラグチュー

Mar 17(金) 3交信

JJ0TJS 長野県安曇野市 HARUさんとラグチュー7分

op jcc cloudy5c/cloudy11c 20th qso

JO1UFB 茨城県東茨城郡茨城町 YOSIさんとラグチュー5分

op jcg/jcc

JO1DGE 神奈川県小田原市 AKIさんとGivinBackラグチュー5分 ZOTA 寅/X

op jcc

Mar 18(土) 19交信

JA0KSB 長野県中野市 9分

op あめ のいず/あめのよほう「AKI くろさき」さん

JH1JDI/7 福島県相馬郡新地町 SAORISAORIさんとラバースタンプ

JR0DIL 長野県松本市 Gori さんと さんとZOTA 丑/卯

JS1DEH 栃木県鹿沼市さんとZOTA 丑/卯 op「寺内 YU」さん

CQ出して，JE7RMT 宮城県大崎市 FUJIさんとZOTA 丑/卯

CQ出して，JO1DGE 神奈川県小田原市 AKI さんとZOTA 丑/X

CQ出して，JR2AWS 岐阜県高山市 SHINさんとZOTA 丑/卯

CQ出して，JA4MRL 岡山市南区 MASAGさんとZOTA 丑/X

CQ出して，JO1DGE 神奈川県小田原市 AKIさんとZOTA 寅/X

CQ出して，JA4MRL 岡山市南区 MASAGさんとZOTA 寅/X

CQ出して，JS2AHG 静岡県三島市 ATSUさんとZOTA 寅/卯

CQ出して，JG3QHX 大阪府茨木市 MakさんとZOTA 寅/X

CQ出して，JE1WOY 東京都江東区 YASUさんとZOTA 寅/卯

CQ出して，JM1TBU 相模原市中央区 TOMさんとZOTA 寅/卯

CQ出して，JO1DGE 神奈川県小田原市 AKIさんとZOTA 卯/X

CQ出して，JA1DFP 埼玉県越谷市 KATSUさんとZOTA 卯/寅

CQ出して，JK1DZT 東京都練馬区 JUNさんとZOTA 卯/卯

CQ出して，JA4MRL 岡山市南区SAGさんとZOTA 卯/X

A1Club オンエアーミーティングにチェックイン

キー局は JR5GWR 高知県高知市 TAKU さん

Mar 19(日) 9交信

JJ1VCU 埼玉県川越市 15分和文交信

はれ8ど/はれ8ど 2015年かまがやからふなばしにひっこしました

JS1DEH 栃木県鹿沼市 YUさんとラバースタンプ

500ミリワットで3交信

8J3SL/3 滋賀県甲賀市 JARL滋賀県支部発足50周年記念局

中央大学

日本数学会の市民講演会に行った．
数学話のネタを仕入れにｗ

授業，その他で何かの話題になればと．

中央大学にて．

東京ドームを抜けて

見えてきた．

5号館

会場は5階．入口すぐの階段ではなく，奥のエレベータに乗ったら，4階までしかない．

あとは階段かー，と思ったら会場の階段教室の前から入れた．

階段で5階に上がると，階段教室の後ろから入ることになる．

前から3列目，ど真ん中の座席に．

皆さん長机の端から座るから，ど真ん中は前が開けて良いw

理事長あいさつ．＞清水扇丈先生

Japanese Theorem とカタラン数　大島先生．

「語らん数」じゃないよ．

大島先生は4年前に記念写真済みｗ

Japanese Theorem は和算の算額を由来としている定理．

へぇ～ ${}_n\mathrm{C}_r$ って$n$が正の整数でなくても定義できるんだ．こういう細かいことがネタになる．

カタラン数と言えばトーナメント表の数とか源氏香とか．

もう一つは，フラクタルと力学系の安定性

「マヨネーズのレシピ」の安定性との対比で楽しかった．

安定なフラクタル（コッホ曲線）

初期値を変えても「マヨネーズになる」ｗ

西伊豆町移動運用

先週のログ

Mar 06(月) 3交信

JA7MBT 福島県いわき市 フルヤさんと和文交信

道の駅アワードサービス局 群馬県前橋市 RS33 まえばし赤城

JJ1FXF 千葉県八街市 HIROさんとGivinBackラバースタンプ．ZOTA

Mar 07(火) 3交信

JJ0TJS 長野県安曇野市 HARUさんと7分ラグチュー．

op jcc fine -2c/fine6c no qsl

JS1DEH 栃木県鹿沼市 YUさんとラバースタンプ．ZOTA

Mar 08(水) 3交信

8J3SL/3 滋賀県蒲生郡日野町 JARL滋賀県支部発足50周年記念局

静岡県西伊豆町移動運用

AWT Contest 2

Scores

Score Breakdowns

Comments

Calls Used

 JG1BGT/2

Mar 09(木) 静岡県西伊豆町移動運用 7交信

ホテル堂ヶ島ニュー銀水から

PM94js, JCG18006B, YU1039, KX2, Output:3W, ANT:LW

JN2OCV 静岡県伊東市 KEIKOさんとラバースタンプ．

CQ出して5交信

JR9SLB 福井県坂井市 MAROさんとラバースタンプ．

JA3HXQ 奈良県奈良市 TADOさんとラバースタンプ．

Mar 10(金) 4交信

JN2OCV 静岡県伊東市 KEIKOさんとラバースタンプ．

JA1SYI 千葉県袖ヶ浦市 YOSHIさんとラバースタンプ

アワードサービス局

電波塔TW26 佐呂間中継局，駅なしアワード 佐呂間町 NS056

JO1DGE 神奈川県小田原市 AKIさんとGivinBackラバースタンプ ZOTA

Mar 11(土) 千葉県館山市移動運用(PK39 館山運動公園) 5交信

この日は10MHzがにぎやかだった．

公園アワードサービス局 埼玉県小鹿野町 PK174 両神山村広場

500ミリワットで1交信

Mar 12(日) 14交信

JA0 7MHzコンテスト 13

スーパーカブ給油

スーパーカブ給油．

前回給油から112日．

299.6km走行で 3.14L．

燃費は 95.41km/L　100kmあたり1.05L．

152円/L で 477円，1kmあたり 1.59円

長距離を乗らないので，だいぶ日数が経った．

給湯器交換

別荘の水栓を開けたら，給湯器から水．

内部の配管が破損したっぽい．

ネットから点検修理を依頼する．

春休みはこれの対応だな．と思っていると，すぐに電話が来て，

「1時間ほどで着きます．」

すごいな．

見てもらったら，やはり．内部の配管の破損．

修理できるとのことだが，「耐用年数10年」とあって，2009年につけたので，交換を依頼．
交換日は春休みかなと思っていると，

「今日できるかもしれません．確認します．」

とのことで，手配してもらった．

その後2時間ほどで取り付け業者が来て，新品に交換．

だるま山高原展望台

駿河湾を一望

トンボロ

陸と島をつなぐ砂州がトンボロ

自分の楽器はボントロｗ

堂ヶ島遊覧船

西伊豆町ジオパーク

海底火山の溶岩の跡．

銀水

ホテル銀水

韮山反射炉

江戸時代に大砲を製造した施設．

スカイウォーク

学年旅行．トヨタレンタカーでハイエース

３・３雛コンテスト

先週のログ

Feb 27(月) 6交信

JA1GZV 東京都世田谷区 MOTOさんとラバースタンプ

公園アワードサービス局 石川県かほく市 PK75七塚中央公園

JE7ZFE 岩手県盛岡市 東北A1 Club TOKUさんとラバースタンプ

500ミリワットで JJ1DKI 埼玉県加須市 オオシマさんと和文交信

JJ1FXF 千葉県八街市 HIROさんとGivinBack ラバースタンプ。ZOTA

JO1DGE 神奈川県小田原市 AKIさんとGivinBack ラバースタンプ。ZOTA

Feb 28(火) 3交信

JJ3KTW 大阪市福島区 OKUさんとラバースタンプ。

JP3TKK/1 埼玉県坂戸市 TAKAさんとラバースタンプ

Mar 01(水) 8交信

AWA3 コンテスト 1

JA2MOG 愛知県西尾市 HIROさんとラバースタンプ

8J7SDGS/7 福島県郡山市 SDGs未来都市記念局

500ミリワットで2交信

AWT Contest 3

Scores

Score Breakdowns

Comments

Calls Used

 JG1BGT

Mar 02(木) 3交信

JN2OCV 静岡県伊東市 KEIKOさんとラバースタンプ

op qsb fine15c /cloudy15c

500ミリワットで1交信

JO1DGE 神奈川県小田原市 AKIさんとGivinBack交信 10分ほど．ZOTA交信

Mar 03(金) 12交信

３・３雛コンテスト 12

Mar 04(土) 4交信

500ミリワットで2交信

JH1WCL/1 千葉県香取郡多古町 10MHz 500ミリワットでHARAさんとラバースタンプ

Mar 05(日) 4交信

JO1DGE 神奈川県小田原市 AKIさんとラバースタンプ ZOTA

8J3KL/3 京都府京田辺市 京都府支部発足50周年記念局

500ミリワットで1交信

A1 Club 和文オンエアーミーティングにチェックイン 

キー局は JI7HIF/7 サトウさん

op はれ/くもり　はなみのじき 11分交信

2月のアクティビティ

2月の運用日数は毎日の28日で，221交信。

CW(モールス)率 100%

すべてQRP（5ワット以下）で，500ミリワットが33 (14.9%)

移動運用 なし

コンテストなどイベント 92 (41.6%)

AWT Contest 4, SKS Contest 2, 京都コンテスト 3, お年玉電鍵コンテスト 24, ARRL-DX-CW 1, 愛媛マラソンコンテスト 3, 富山マラソンコンテスト＆パーティ 2, 関東ＵＨＦコンテスト2, いわてWINTERコンテスト 11, 広島WASコンテスト 40

A1 Club オンエアミーティング  9

欧文4，和文5

それらを除いた交信は 120 (54.3%)

うち、57交信がシグナルレポート（599BK） だけではないラバースタンプ以上の交信。 和文8

運用バンドは、7, 10, 14, 430MHz

430 は UHFコンテスト

エリアは国内全エリア、海外 ARRL DX CW

2022	Jan	Feb	Mar	Apr	May	Jun	Jul	Aug	Sep	Oct	Nov	Dec	Total
1.9													0
3.5	9												9
7	228	208											436
10	37	8											45
14	2	3											5
18	1												1
21													0
24	1												1
28													0
50													0
144													0
430		2											2
SAT													0
Total	278	221	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	499

＞2022，2021，2020，2019，2018，2017，2016，2015，2014，2013，2012

	1 関東	2 東海	3 関西	4 中国	5 四国	6 九州沖縄	7 東北	8 北海道	9 北陸	φ 信越	DX 海外	計
1.9M
3.5M
7M	78	28	38	13	6	6	18		3	17	1	208
10M	2		1	1			1	2	1			8
14M				1		2						3
18M
21M
24M
28M
50M
144M
430M	2											2
SAT
計	82	28	39	15	6	8	19	2	4	17	1	221
	37.1	12.7	17.6	6.8	2.7	3.6	8.6	0.9	1.8	7.7	0.5	100.0

12年間の同月

	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021	2022	2023
1.9
3.5	16	6							7	2	5
7	160	70	170	56	52	30	41	45	63	75	86	208
10		18	3							1	1	8
14	15	2	8			1					1	3
18			5
21	40	4	10								5
24	2	2	2
28	9	2	3
50	8	2	1
144	1	4		12
430	48	66	23	40								2
SAT		18	2
Total	299	194	227	108	52	31	41	45	70	78	98	221

原子力付自転車

「微分の反対を原始関数という．原始は primitive から来ている．原子 atomic じゃないよ原始 primitive」

なんて話を授業でする．

さらに，

「オレのスーパーカブC110 は原付二種．原付一種は原チャリだけど，原付二種ってのは原子力付自転車ってことだよ（爆」

教科書では，先に微分をやって，

「微分の反対が積分と定義」

して，面積を求める計算をやったりする．これは教育的配慮というやつ．

「微分の反対が積分」は定義ではなく，「微分積分学の基本定理」と言って，「証明されたこと」である．「決めたから覚えろ」ではない．

歴史的には，アルキメデスから2200年以上の歴史のある積分に対して，微分はニュートン，ライプニッツから300年くらいしか経っていない．

微分が見つかったら，「微分の反対で，いままで苦労した積分ができるじゃん」となって，そっちの方が簡単だから，「決めたから覚えろ」と教育をすることにしたわけだ．

自分は「決めたから覚えろ」が嫌いなので，こういう歴史的な話をする．

さて，

$\int_0^\frac{\pi}{4}\sqrt{\tan x}\,dx$
を求めた．

その副産物で原始関数（不定積分）を表示してみる．

$\int\sqrt{\tan x}\,dx$ で，

$t=\sqrt{\tan x}$ と置換すると，

$=\int\frac{2t^2}{t^4+1}\,dt$

となる．

定積分の時と同様にぐちゃぐちゃやるとw，

$=\int\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}t}{t^2-\sqrt{2}t+1}\,dt + \int\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}t}{t^2+\sqrt{2}t+1}\,dt $

$=\int\frac{\frac{1}{2\sqrt{2}}(2t-\sqrt{2})+\frac{1}{2}}{t^2-\sqrt{2}t+1}\,dt + \int\frac{-\frac{1}{2\sqrt{2}}(2t+\sqrt{2})+\frac{1}{2}}{t^2+\sqrt{2}t+1}\,dt $

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\int\frac{(t^2-\sqrt{2}t+1)'}{t^2-\sqrt{2}t+1}\,dt + \frac{1}{2}\int\frac{1}{(t-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}}\,dt - \frac{1}{2\sqrt{2}}\int\frac{(t^2+\sqrt{2}t+1)'}{t^2+\sqrt{2}t+1}\,dt + \frac{1}{2}\int\frac{1}{(t+\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}}\,dt $

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log(t^2-\sqrt{2}t+1) + \frac{1}{2}\int\frac{1}{\frac{1}{2}(\tan^2\theta+1)}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta - \frac{1}{2\sqrt{2}}\log(t^2+\sqrt{2}t+1) + \frac{1}{2}\int\frac{1}{\frac{1}{2}(\tan^2\eta+1)}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\cos^2\eta}\,d\eta$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log(t^2-\sqrt{2}t+1)  - \frac{1}{2\sqrt{2}}\log(t^2+\sqrt{2}t+1) + \frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{1}{\frac{1}{\cos^2\theta}}\frac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{1}{\frac{1}{\cos^2\eta}}\frac{1}{\cos^2\eta}\,d\eta$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\frac{1-\sqrt{2}t+t^2}{1+\sqrt{2}t+t^2}+ \frac{1}{\sqrt{2}}\int 1 \,d\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}\int 1 \,d\eta$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\frac{1-\sqrt{2}t+t^2}{1+\sqrt{2}t+t^2}+ \frac{2\theta}{2\sqrt{2}} + \frac{2\eta}{2\sqrt{2}}$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\log\frac{1-\sqrt{2}t+t^2}{1+\sqrt{2}t+t^2}+ 2\theta + 2\eta)$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\log\frac{1-\sqrt{2}t+t^2}{1+\sqrt{2}t+t^2}+ 2\tan^{-1}(\sqrt{2}t-1) + 2\tan^{-1}(\sqrt{2}t+1))$

となる．

$t=\sqrt{\tan x}$ を復元して，

$\int \sqrt{\tan x}\,dx$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\log\frac{1 - \sqrt{2 \tan x} + \tan x}{1 + \sqrt{2 \tan x} + \tan x}+2 \tan^{-1}(\sqrt{2 \tan{x}}-1) + 2 \tan^{-1}(\sqrt{2 \tan{x}}+1) )$

>検算

逆tanの計算

①の

$\arctan(\sqrt{2}-1)+\arctan(\sqrt{2}+1)=\frac{\pi}{2}$  である．

$\alpha=\arctan(\sqrt{2}-1)$ とすると，$\tan\alpha=\sqrt{2}-1$

$\beta=\arctan(\sqrt{2}+1)$ とすると，$\tan\beta=\sqrt{2}+1$

$\arctan(\sqrt{2}-1)+\arctan(\sqrt{2}+1)$

$=\alpha+\beta$

加法定理 $\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

より，

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\sqrt{2}-1+\sqrt{2}+1}{1-(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$

$=\frac{2\sqrt{2}}{1-(2-1)}=\frac{-2}{0}$

となり，定義できないが，そうなるのは，

$\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}+n\pi$ ($n$ は整数)

にかぎる．

$0\le\alpha+\beta\le\frac{\pi}{2}$ なら， 

$\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$

$\alpha+\beta=\arctan(\sqrt{2}-1)+\arctan(\sqrt{2}+1)=\frac{\pi}{2}$

ちなみに

$\tan^2\frac{\pi}{8}=\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{1+\cos\frac{\pi}{4}}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}=(\sqrt{2}-1)^2$

$\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1$

$\alpha=\arctan(\sqrt{2}-1)=\frac{\pi}{8}$

であり，同様に

$\tan^2\frac{3\pi}{8}=(\sqrt{2}+1)^2$ より

$\beta=\arctan(\sqrt{2}+1)=\frac{3\pi}{8}$

したがって，

$\alpha+\beta=\frac{\pi}{8}+\frac{3\pi}{8}=\frac{\pi}{2}$

である．

逆双曲余接関数

逆双曲余接関数 inverse hyperbolic cotangent

これでもかっ！

って感じ．字面が紆余曲折っぽいw

紆余曲折関数（爆

√tan の積分で，

$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\tan x}\,dx=\int_0^{1}\,\frac{2t^2}{t^4+1}\,dt$
$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\pi +\log\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1})=\frac{\pi +\log(3-\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}$

$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\tan x}\,dx$ の検算は＞wolframalpha
　　$\frac{\pi +\log(3-\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}$

だったけど，分数式 $\int_0^{1}\,\frac{2t^2}{t^4+1}\,dt$ を検算させると，>wolframalpha

　　$\frac{\pi -2\coth^{-1}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$

となる．つまり

$\log(3-\sqrt{2})=\log\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=-2\coth^{-1}\sqrt{2}$

というのである．

$\coth^{-1}$ は双曲余接(coth) の逆関数．

三角関数は sin, cos, tan は高校で習う．

こいつら，すべて逆数に名前がついている．＞三角関数sin cos tan

$\frac{1}{\sin}=\csc$ 余割 cosecant

$\frac{1}{\cos}=\sec$ 正割 secant

$\frac{1}{\tan}=\cot$ 余接 cotangent

なので，cot は正接 tan の逆数で余接cotangent コタンジェントである．

さらに，双曲三角関数というのがあって，＞由来の考察

双曲正弦 $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

双曲余弦 $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

双曲正接 $\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

と定義されている．

双曲正接の逆数が双曲余接 $\coth x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$

つまり，

$\log\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ が双曲余接の逆関数っぽいわけだ．

実際，

$x=\coth y=\frac{e^y+e^{-y}}{e^y-e^{-y}}$

とおいて，$y=$ にしてみる．

$x=\frac{(e^y+e^{-y})e^y}{(e^y-e^{-y})e^y}$

$=\frac{e^{2y}+1}{e^{2y}-1}$

$(e^{2y}-1)x=e^{2y}+1$

$xe^{2y}-x-e^{2y}-1=0$

$(x-1)e^{2y}-x-1=0$

$(x-1)e^{2y}=x+1$

$e^{2y}=\frac{x+1}{x-1}$

$2y=\log\frac{x+1}{x-1}$

したがって，

$y=\coth^{-1} x=\frac{1}{2}\log\frac{x+1}{x-1}$

$x=\sqrt{2}$ のときは，

$-2\coth^{-1} \sqrt{2}=-2\times\frac{1}{2}\log\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

$=-\log\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

$=\log(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1})^{-1}$

$=\log\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$

と一致する．

√tan の積分から作った分数式の積分

$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\tan x}\,dx$ を$\sqrt{\tan x}=t$とおいて分数式に置換した積分．

$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\tan x}\,dx=\int_0^{1}\,\frac{2t^2}{t^4+1}\,dt$

$t^4+1=t^4+2t^2+1-2t^2=(t^2+1)^2-(\sqrt{2}t)^2=(t^2-\sqrt{2}t+1)(t^2+\sqrt{2}t+1)$

より，$\frac{2t^2}{t^4+1}$ を部分分数に分解する．

恒等式，$\frac{2t^2}{t^4+1}=\frac{at+b}{t^2-\sqrt{2}t+1}+\frac{ct+d}{t^2+\sqrt{2}t+1}$ の分母を払って，

$2t^2=(at+b)(t^2+\sqrt{2}t+1)+(ct+d)(t^2-\sqrt{2}t+1)$

$=(a+c)t^3+(\sqrt{2}a+b-\sqrt{2}c+d)t^2+(a+\sqrt{2}b+c-\sqrt{2}d)t+b+d$

係数比較で，

$a+c=0$ より，$c=-a$

$b+d=0$ より，$d=-b$

$\sqrt{2}a+b-\sqrt{2}c+d=2$ より，$\sqrt{2}a+b-\sqrt{2}(-a)+(-b)=2$, $2\sqrt{2}a=2$, $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$, $c=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$a+\sqrt{2}b+c-\sqrt{2}d=0$ より，$a+\sqrt{2}b+(-a)-\sqrt{2}(-b)=0$, $2\sqrt{2}b=0$, $b=0$, $d=0$

$\frac{2t^2}{t^4+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}t}{t^2-\sqrt{2}t+1}+\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}t}{t^2+\sqrt{2}t+1}$

$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\tan x}\,dx=\int_0^{1}\,\frac{2t^2}{t^4+1}\,dt=\int_0^{1} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}t}{t^2-\sqrt{2}t+1} \,dt+\int_0^{1}\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}t}{t^2+\sqrt{2}t+1} \,dt$

１つ目の分数式の積分

分母 $(t^2-\sqrt{2}t+1)'=2t-\sqrt{2}$ で，分子$\frac{1}{\sqrt{2}}t$を割ると

$\frac{1}{\sqrt{2}}t=\frac{1}{2\sqrt{2}}(2t-\sqrt{2})+\frac{1}{2}$

$\int_0^{1} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}t}{t^2-\sqrt{2}t+1} \,dt = \int_0^{1} \frac{\frac{1}{2\sqrt{2}}(2t-\sqrt{2})+\frac{1}{2}}{t^2-\sqrt{2}t+1} \,dt$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\int_0^{1} \frac{(t^2-\sqrt{2}t+1)'}{t^2-\sqrt{2}t+1} \,dt +\frac{1}{2}\int_0^{1} \frac{1}{t^2-\sqrt{2}t+1} \,dt$

と分ける．

（１つ目前半）

$\frac{1}{2\sqrt{2}}\int_0^{1} \frac{(t^2-\sqrt{2}t+1)'}{t^2-\sqrt{2}t+1} \,dt =\frac{1}{2\sqrt{2}}[\log(t^2-\sqrt{2}t+1)]_0^{1}$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log(1^2-\sqrt{2}+1)-\frac{1}{2\sqrt{2}}\log(0^2-\sqrt{2}\times 0+1)=\frac{\log(2-\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}$

（１つ目後半）

分母 $t^2-\sqrt{2}t+1=(t-\frac{\sqrt{2}}{2})^2-\frac{1}{2}+1=(t-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+\frac{1}{2}$

より，$t-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\tan\theta$ とすると，

$(t-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+\frac{1}{2}=(\frac{1}{\sqrt{2}}\tan\theta)^2+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(\tan^2\theta+1)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{\cos^2\theta}$

積分区間は $t=0$ のとき，$0-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\tan\theta$, $\tan\theta=-1$, $\theta=-\frac{\pi}{4}$

$t=1$ のとき，$1-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\tan\theta$, $\tan\theta=\sqrt{2}-1$, $\theta=\arctan(\sqrt{2}-1)$ 

$dt=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta$

 で置換すると，

$\frac{1}{2}\int_0^{1} \frac{1}{t^2-\sqrt{2}t+1} \,dt=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\arctan(\sqrt{2}-1)} \frac{1}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{\cos^2\theta}} \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\arctan(\sqrt{2}-1)} 1\,d\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}[\theta]_{-\frac{\pi}{4}}^{\arctan(\sqrt{2}-1)}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\arctan(\sqrt{2}-1)-(-\frac{\pi}{4}))$

１つ目の分数式の積分は

$\int_0^{1} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}t}{t^2-\sqrt{2}t+1} \,dt=\frac{\log(2-\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}(\arctan(\sqrt{2}-1)+\frac{\pi}{4})$

2つ目の分数式の積分も同様にすると，

$\int_0^{1} \frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}t}{t^2+\sqrt{2}t+1} \,dt=\frac{-\log(2+\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\pi}{4}-\arctan(\sqrt{2}+1))$

したがって，

$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\tan x}\,dx=\int_0^{1}\,\frac{2t^2}{t^4+1}\,dt$

$=\frac{\log(2-\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}(\arctan(\sqrt{2}-1)+\frac{\pi}{4})+\frac{-\log(2+\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\pi}{4}-\arctan(\sqrt{2}+1))$

$=\frac{\log(2-\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}+\frac{-\log(2+\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}(\arctan(\sqrt{2}-1)+\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}-\arctan(\sqrt{2}+1))$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\log(2-\sqrt{2})-\log(2+\sqrt{2})) + \frac{1}{\sqrt{2}}(\arctan(\sqrt{2}-1)+\arctan(\sqrt{2}+1))$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\log(2-\sqrt{2})-\log(2+\sqrt{2})) + \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\pi}{2})$ ・・・①

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\pi +\log(2-\sqrt{2})-\log(2+\sqrt{2}))$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\pi +\log\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}})$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\pi +\log\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1})$

>検算

$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{3-2\sqrt{2}}{2-1}=3-2\sqrt{2}$

だから合ってる．

分数式の $\int_0^{1}\,\frac{2t^2}{t^4+1}\,dt$ を検算したら，＞wolfram

すごい関数が出てきたｗ

√tan の積分を分数式に置換

$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\tan x}\,dx$

$\sqrt{\tan x}=t$とおくと，

積分区間は

$x=0$のとき，$t=\sqrt{\tan 0}=\sqrt{0}=0$

$x=\frac{\pi}{4}$のとき，$t=\sqrt{\tan \frac{\pi}{4}}=\sqrt{1}=1$

$\tan x=t^2$ より，$\frac{1}{\cos^2 x}dx=2t\,dt$

数I $\sin^2+\cos^2=1$ より $\tan^2+1=\frac{1}{\cos^2}$ だから

$(\tan^2 x+1)dx=2t\,dt$

$\tan^2 x=t^4$　なので，

$(t^4+1)dx=2t\,dt$, $dx=\frac{2t}{t^4+1}\,dt$, 

$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\tan x}\,dx=\int_0^{1}t\,\frac{2t}{t^4+1}\,dt$

$=\int_0^{1}\,\frac{2t^2}{t^4+1}\,dt$

と分数式に置換できる．

分数式は必ず積分できる．

＞実際に積分