逆双曲余接関数

逆双曲余接関数 inverse hyperbolic cotangent

これでもかっ！

って感じ．字面が紆余曲折っぽいw

紆余曲折関数（爆

√tan の積分で，

$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\tan x}\,dx=\int_0^{1}\,\frac{2t^2}{t^4+1}\,dt$
$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\pi +\log\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1})=\frac{\pi +\log(3-\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}$

$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\tan x}\,dx$ の検算は＞wolframalpha
　　$\frac{\pi +\log(3-\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}$

だったけど，分数式 $\int_0^{1}\,\frac{2t^2}{t^4+1}\,dt$ を検算させると，>wolframalpha

　　$\frac{\pi -2\coth^{-1}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$

となる．つまり

$\log(3-\sqrt{2})=\log\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=-2\coth^{-1}\sqrt{2}$

というのである．

$\coth^{-1}$ は双曲余接(coth) の逆関数．

三角関数は sin, cos, tan は高校で習う．

こいつら，すべて逆数に名前がついている．＞三角関数sin cos tan

$\frac{1}{\sin}=\csc$ 余割 cosecant

$\frac{1}{\cos}=\sec$ 正割 secant

$\frac{1}{\tan}=\cot$ 余接 cotangent

なので，cot は正接 tan の逆数で余接cotangent コタンジェントである．

さらに，双曲三角関数というのがあって，＞由来の考察

双曲正弦 $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

双曲余弦 $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

双曲正接 $\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

と定義されている．

双曲正接の逆数が双曲余接 $\coth x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$

つまり，

$\log\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ が双曲余接の逆関数っぽいわけだ．

実際，

$x=\coth y=\frac{e^y+e^{-y}}{e^y-e^{-y}}$

とおいて，$y=$ にしてみる．

$x=\frac{(e^y+e^{-y})e^y}{(e^y-e^{-y})e^y}$

$=\frac{e^{2y}+1}{e^{2y}-1}$

$(e^{2y}-1)x=e^{2y}+1$

$xe^{2y}-x-e^{2y}-1=0$

$(x-1)e^{2y}-x-1=0$

$(x-1)e^{2y}=x+1$

$e^{2y}=\frac{x+1}{x-1}$

$2y=\log\frac{x+1}{x-1}$

したがって，

$y=\coth^{-1} x=\frac{1}{2}\log\frac{x+1}{x-1}$

$x=\sqrt{2}$ のときは，

$-2\coth^{-1} \sqrt{2}=-2\times\frac{1}{2}\log\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

$=-\log\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

$=\log(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1})^{-1}$

$=\log\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$

と一致する．