√tan の積分を分数式に置換

$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\tan x}\,dx$

$\sqrt{\tan x}=t$とおくと，

積分区間は

$x=0$のとき，$t=\sqrt{\tan 0}=\sqrt{0}=0$

$x=\frac{\pi}{4}$のとき，$t=\sqrt{\tan \frac{\pi}{4}}=\sqrt{1}=1$

$\tan x=t^2$ より，$\frac{1}{\cos^2 x}dx=2t\,dt$

数I $\sin^2+\cos^2=1$ より $\tan^2+1=\frac{1}{\cos^2}$ だから

$(\tan^2 x+1)dx=2t\,dt$

$\tan^2 x=t^4$　なので，

$(t^4+1)dx=2t\,dt$, $dx=\frac{2t}{t^4+1}\,dt$, 

$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\tan x}\,dx=\int_0^{1}t\,\frac{2t}{t^4+1}\,dt$

$=\int_0^{1}\,\frac{2t^2}{t^4+1}\,dt$

と分数式に置換できる．

分数式は必ず積分できる．

＞実際に積分