原子力付自転車

「微分の反対を原始関数という．原始は primitive から来ている．原子 atomic じゃないよ原始 primitive」

なんて話を授業でする．

さらに，

「オレのスーパーカブC110 は原付二種．原付一種は原チャリだけど，原付二種ってのは原子力付自転車ってことだよ（爆」

教科書では，先に微分をやって，

「微分の反対が積分と定義」

して，面積を求める計算をやったりする．これは教育的配慮というやつ．

「微分の反対が積分」は定義ではなく，「微分積分学の基本定理」と言って，「証明されたこと」である．「決めたから覚えろ」ではない．

歴史的には，アルキメデスから2200年以上の歴史のある積分に対して，微分はニュートン，ライプニッツから300年くらいしか経っていない．

微分が見つかったら，「微分の反対で，いままで苦労した積分ができるじゃん」となって，そっちの方が簡単だから，「決めたから覚えろ」と教育をすることにしたわけだ．

自分は「決めたから覚えろ」が嫌いなので，こういう歴史的な話をする．

さて，

$\int_0^\frac{\pi}{4}\sqrt{\tan x}\,dx$
を求めた．

その副産物で原始関数（不定積分）を表示してみる．

$\int\sqrt{\tan x}\,dx$ で，

$t=\sqrt{\tan x}$ と置換すると，

$=\int\frac{2t^2}{t^4+1}\,dt$

となる．

定積分の時と同様にぐちゃぐちゃやるとw，

$=\int\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}t}{t^2-\sqrt{2}t+1}\,dt + \int\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}t}{t^2+\sqrt{2}t+1}\,dt $

$=\int\frac{\frac{1}{2\sqrt{2}}(2t-\sqrt{2})+\frac{1}{2}}{t^2-\sqrt{2}t+1}\,dt + \int\frac{-\frac{1}{2\sqrt{2}}(2t+\sqrt{2})+\frac{1}{2}}{t^2+\sqrt{2}t+1}\,dt $

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\int\frac{(t^2-\sqrt{2}t+1)'}{t^2-\sqrt{2}t+1}\,dt + \frac{1}{2}\int\frac{1}{(t-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}}\,dt - \frac{1}{2\sqrt{2}}\int\frac{(t^2+\sqrt{2}t+1)'}{t^2+\sqrt{2}t+1}\,dt + \frac{1}{2}\int\frac{1}{(t+\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}}\,dt $

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log(t^2-\sqrt{2}t+1) + \frac{1}{2}\int\frac{1}{\frac{1}{2}(\tan^2\theta+1)}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta - \frac{1}{2\sqrt{2}}\log(t^2+\sqrt{2}t+1) + \frac{1}{2}\int\frac{1}{\frac{1}{2}(\tan^2\eta+1)}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\cos^2\eta}\,d\eta$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log(t^2-\sqrt{2}t+1)  - \frac{1}{2\sqrt{2}}\log(t^2+\sqrt{2}t+1) + \frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{1}{\frac{1}{\cos^2\theta}}\frac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{1}{\frac{1}{\cos^2\eta}}\frac{1}{\cos^2\eta}\,d\eta$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\frac{1-\sqrt{2}t+t^2}{1+\sqrt{2}t+t^2}+ \frac{1}{\sqrt{2}}\int 1 \,d\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}\int 1 \,d\eta$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\frac{1-\sqrt{2}t+t^2}{1+\sqrt{2}t+t^2}+ \frac{2\theta}{2\sqrt{2}} + \frac{2\eta}{2\sqrt{2}}$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\log\frac{1-\sqrt{2}t+t^2}{1+\sqrt{2}t+t^2}+ 2\theta + 2\eta)$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\log\frac{1-\sqrt{2}t+t^2}{1+\sqrt{2}t+t^2}+ 2\tan^{-1}(\sqrt{2}t-1) + 2\tan^{-1}(\sqrt{2}t+1))$

となる．

$t=\sqrt{\tan x}$ を復元して，

$\int \sqrt{\tan x}\,dx$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\log\frac{1 - \sqrt{2 \tan x} + \tan x}{1 + \sqrt{2 \tan x} + \tan x}+2 \tan^{-1}(\sqrt{2 \tan{x}}-1) + 2 \tan^{-1}(\sqrt{2 \tan{x}}+1) )$

>検算