逆tanの計算

①の

$\arctan(\sqrt{2}-1)+\arctan(\sqrt{2}+1)=\frac{\pi}{2}$  である．

$\alpha=\arctan(\sqrt{2}-1)$ とすると，$\tan\alpha=\sqrt{2}-1$

$\beta=\arctan(\sqrt{2}+1)$ とすると，$\tan\beta=\sqrt{2}+1$

$\arctan(\sqrt{2}-1)+\arctan(\sqrt{2}+1)$

$=\alpha+\beta$

加法定理 $\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

より，

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\sqrt{2}-1+\sqrt{2}+1}{1-(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$

$=\frac{2\sqrt{2}}{1-(2-1)}=\frac{-2}{0}$

となり，定義できないが，そうなるのは，

$\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}+n\pi$ ($n$ は整数)

にかぎる．

$0\le\alpha+\beta\le\frac{\pi}{2}$ なら， 

$\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$

$\alpha+\beta=\arctan(\sqrt{2}-1)+\arctan(\sqrt{2}+1)=\frac{\pi}{2}$

ちなみに

$\tan^2\frac{\pi}{8}=\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{1+\cos\frac{\pi}{4}}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}=(\sqrt{2}-1)^2$

$\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1$

$\alpha=\arctan(\sqrt{2}-1)=\frac{\pi}{8}$

であり，同様に

$\tan^2\frac{3\pi}{8}=(\sqrt{2}+1)^2$ より

$\beta=\arctan(\sqrt{2}+1)=\frac{3\pi}{8}$

したがって，

$\alpha+\beta=\frac{\pi}{8}+\frac{3\pi}{8}=\frac{\pi}{2}$

である．