オイラーの関係式

オイラーの関係式(Euler's formula)
$e^{ix}=\cos x+i\sin x$
を導くのはふつうは，マクロリン展開であるが，英語版の wiki を見ていたら，おもろい証明方法が・・・

$f(x)=\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}$
とおく．
微分して，
$f'(x)=\frac{(\cos x+i\sin x)'e^{ix}-(\cos x+i\sin x)(e^{ix})'}{(e^{ix})^2} \\ \hspace{5mm} =\frac{(-\sin x+i\cos x)e^{ix}-(\cos x+i\sin x)(ie^{ix})}{(e^{ix})^2} \\ \hspace{5mm} =\frac{(-\sin x+i\cos x)e^{ix}-i(\cos x+i\sin x)(e^{ix})}{(e^{ix})^2} \\ \hspace{5mm} =\frac{\left(-\sin x+i\cos x-i(\cos x+i\sin x)\right)e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ \hspace{5mm} =\frac{(-\sin x+i\cos x-i\cos x-i^2\sin x)e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ \hspace{5mm} =\frac{(-\sin x+i\cos x-i\cos x+\sin x)e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ \hspace{5mm} =\frac{(-\sin x+\sin x)e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ \hspace{5mm} =0$
微分して０になるのは定数である．よって，どんな$x$についても$f(x)=f(0)$ といえる．
$f(x)=f(0)=\frac{\cos 0+i\sin 0}{e^{i0}} \\ \hspace{5mm} =\frac{1+i 0}{e^{0}} \\ \hspace{5mm} =\frac{1}{1}=1$
より，
$f(x)=\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}=1$
$\cos x+i\sin x=e^{ix}$

結果がわかっていれば，それにいくらでもつじつまが合わせられるという典型かな．