スーパー楕円

なるものがあるらしい．
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楕円の方程式
$\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1$
の「2乗」を他のものに変えたもの．（絶対値にしないと定義できない）
$\left|\frac{x}{a}\right|^r+\left|\frac{y}{b}\right|^r=1$

r や a，b を他の数字に変えると，いろいろな形が出てくる
a=3，b=2 で
$\left|\frac{x}{3}\right|^r+\left|\frac{y}{2}\right|^r=1$
r=2 だと，普通の楕円．
rを大きくしていくと，長方形に近づく．
逆にrを小さくして，1にすると，ひし形．
1より小さくするとひし形の辺を凹ました形．



r=2.5 が，四角すぎず丸すぎず．
$\left|\frac{x}{3}\right|^{2.5}+\left|\frac{y}{2}\right|^{2.5}=1$
広くデザインに使われる．

「スーパー楕円で，広場のロータリー形状や、テーブル、ホットプレート、建築物、スーパーエッグ」
スーパーエッグって？

図に描くには，$x\gt0$，$y\gt0$ の範囲で，$y=f(x)$にして，xに細かく値を代入して，エクセルなどに計算させるのが現実的だろうな．
$\left|\frac{x}{a}\right|^r+\left|\frac{y}{b}\right|^r=1$
$x\gt0$，$y\gt0$ では絶対値は不要だから，
$\left(\frac{x}{a}\right)^r+\left(\frac{y}{b}\right)^r=1$
移項して，
$\left(\frac{y}{b}\right)^r=1-\left(\frac{x}{a}\right)^r$
$\frac{y}{b}=\left(1-\left(\frac{x}{a}\right)^r\right)^{\frac{1}{r}}$
$y=b \left(1-\left(\frac{x}{a}\right)^r\right)^{\frac{1}{r}}$

$a=3$，$b=2$，$r=2.5$なら，
$y=2 \left(1-\left(\frac{x}{3}\right)^{2.5}\right)^{\frac{1}{2.5}}$

このブログの図は，y= に直した式を4つ用意して，くっつけたが，
パラメータ表示するという手もある．
$x^2+y^2=1$
のとき，
$x=\cos\theta$，$y=\sin\theta$
と座標を計算できる．
$\left(\frac{x}{3}\right)^{2.5}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2.5}=1$
のとき，
$\left(\left(\frac{x}{3}\right)^{1.25}\right)^2+\left(\left(\frac{y}{2}\right)^{1.25}\right)^2=1$
から，
$\cos\theta=\left(\frac{x}{3}\right)^{1.25}$，$\sin\theta=\left(\frac{y}{2}\right)^{1.25}$
とおくことができ，
$\frac{x}{3}=(\cos\theta)^{\frac{1}{1.25}}$，$\frac{y}{2}=(\sin\theta)^{\frac{1}{1.25}}$，
$x=3(\cos\theta)^{0.8}$，$y=3(\sin\theta)^{0.8}$
$\theta$を0から直角まで変化させたものを４つくっつければ完成．

最初にデザインしたのはピート・ハイン