sin1度の厳密解

sin1ではなくsin1度．

普通は級数展開（マクローリン展開）
\[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\]
を使えば任意の精度で求まるので，コンピュータで数値計算を行う場合はこの式を使う．（ただし，エクセルなどはCPUに組み込まれた関数を呼び出しており，CPUの関数は CORDIC を用いている．）

たとえば，角度が1（ラジアン）のとき，sin1なら
\[\sin 1=1-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\frac{1}{7!}+\cdots = 0.841470985\]
で あるが，1(ラジアン)は半径と同じ長さの弧長に対する円の中心角なので，それに対する　sin1 は有理数係数の代数方程式の解にはならない．（古代ギリシャの３大問題，「円周率と同面積の正方形の作図不可能」に帰着する）したがって，1（ラジアン）の角は，コン パスと定規で作図できない．
60度=π/3=1.04719755 なので，sin 1 は sin60度=0.866025404より少し小さい．

sin1度なら
1度=π/180=0.0174533
なので，sin1度は
\[0.0174533-0.0174533^3/6+0.0174533^5/120-0.0174533^7/5040\]
くらいまでやれば十分である．＞ google電卓
sin1度としては十分の精度である．＞ google電卓


1度は，中心角を360等分した大きさなので，sin1度は代数方程式の解になる．
したがって，ここでは敢えて代数方程式を解き，整数の加減乗除と累乗根を用いて厳密解を求めるという，不毛の作業を行ってみる．
流れとしては36度の三角比(sin cos)と30度のそれを使って 6度の cos を求め，半角公式で3度を求め，3倍角公式を逆算して1度にする．
＞参考：18°，36°，54°，72°の三角比


$\sin30^\circ=\frac{1}{2}$, $\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin36^\circ=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$, $\cos36^\circ=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ を加法定理
\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\]
に代入して
$\cos6^\circ=\cos(36^\circ-30^\circ)$
$=\cos36^\circ\cos30^\circ+\sin36^\circ\sin30^\circ$
$=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}$

半角公式
$\sin^2\ \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}$
$\sin\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$
に代入して，
$\sin3^\circ=\sin\frac{6^\circ}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos6^\circ}{2}}$
$=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}}{2}}$
$=\frac{1}{4}\sqrt{8-\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}$
ここまで，加減乗除と平方根しか使わないので，3度はコンパスと定規で作図できる角である．実際，正5角形から作った36度と，正三角形から作った30度を組み合わせて，6度を作り，その半角が3度．

3倍角の公式
\[\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\ \theta\]
に代入して，
$\sin3^\circ=\sin3\times1^\circ=3\sin1^\circ-4\sin^3\ 1^\circ$
$\sin1^\circ=x$ と置けば，これは3次方程式
$3x-4x^3=\sin3^\circ$
となり，$\sin1^\circ$ は3次方程式
$-4x^3+3x=\frac{1}{4}\sqrt{8-\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}$
の解となる．

この3次方程式をカルダノの公式で解くと，実数解が3つ得られる．
なぜなら，$\sin3^\circ=\sin363^\circ=\sin723^\circ=\cdots$　なので，方程式を解くとその角を3等分した，$\sin1^\circ$，$\sin121^\circ$，$\sin241^\circ$が求まる．
3つの解のうち数値が$\sin1^\circ$であるものの厳密解は，
$x=\frac{1}{8}\left((-1+i\sqrt{3})(-2\sqrt{8-\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}-2i\sqrt{8+\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}})^{\frac{1}{3}}\right.$
$\left.-(1+i\sqrt{3})(-2\sqrt{8-\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}+2i\sqrt{8+\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}})^{\frac{1}{3}}\right)$
という形となる．
ここで，$i$は虚数単位である．つまりこの実数解は虚数を使わなければ表すことができない「不還元の形」であるが，これが実際に実数であることは，数値計算で確かめられる．＞ google電卓

たしかに　sin1度　に等しい．＞ google電卓


また，不還元であることは，
$(-1+i\sqrt{3})$，　$(1+i\sqrt{3})$
を後ろの3乗根の中に入れてみるとわかる．
$(-1+i\sqrt{3})^3=8$，　$(1+i\sqrt{3})^3=-8$
なので，3乗根の中に入れると8倍，-8倍して
$x=\frac{1}{8}\left((-16\sqrt{8-\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}-16i\sqrt{8+\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}})^{\frac{1}{3}}\right.$
$\left.-(16\sqrt{8-\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}-16i\sqrt{8+\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}})^{\frac{1}{3}}\right)$
となるが，これで数値計算をすると，虚数がキャンセルできない．＞ google電卓


sin1度が求まれば，cos=√(1-sin^2)，tan=sin/cos より求まるが，コンピュータの発達した現代では，厳密解を求めることは無意味である．

ちなみに，角を3等分（古代ギリシャの3大問題）するときに3次方程式を解いているが，このことがコンパスと定規で任意の角の3等分線を作図できない根拠となる．（「1度」もコンパスと定規で作図できない．）
コンパスと定規で作図できる計算は，長さの加減乗除と平方根，つまり角は和と差と2等分までであり，3乗根が作図できないため角を3等分することができないといえる．
大きな角では，60度の3等分の20度が作図できないことが，以下の本に証明されている．
アルティン (著), 寺田文行（訳）「ガロア理論入門」東京図書 の110ページ
ジョセフ ロットマン (著), 関口 次郎 (訳) 「ガロア理論」シュプリンガー・フェアラーク東京の129ページ
＞角の3等分

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2009/01/27 追記　オイラーの公式でも求めてみた
＞sin1度の厳密解（オイラーの公式編）

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