角の3等分

任意の角の3等分はコンパスと定規ではできない．
というのを日記にどこかに書いていたと思ったら，まったく触れたことがなかったようだ．
これは，ギリシャの三大問題の一つだが，否定的に解決している．
つまり，「人類の頭が悪くて，まだできない」のではなく，「不可能である」ことが証明されている．

90度や180度の３等分はできる．
180度÷3=60度　は正三角形の内角として作図できるし，その角を2等分した30度は90度の3等分となっている．しかしこれは，任意の角の3等分の作図とはいえない．
コンパスと定規で作図できる度数法で整数の角度は，3の倍数だけである．
実際，円はコンパスで半分，3等分，4等分，5等分，できるので，120度，72度などが作図できる．
任意の角の2等分ができるので，60度，30度，15度や36度，18度，9度なども作図できる．
角の差もできるから，18-15度の3度も作図できる．3度の和を作れば，3度の倍数の角はすべてコンパスと定規で作図できる．
だから，元の角度が9度の倍数で表される角度ならば，その3等分の作図はできるといえる．

つまり，3等分できる角は，別な方法で作図できる「特殊な角」なのである．

そうではない角は3等分できない．
たとえば，60度の3等分である20度は，作図できないことが以下の本に証明されている．
アルティン (著), 寺田文行（訳）「ガロア理論入門」東京図書 の110ページ
ジョセフ ロットマン (著), 関口 次郎 (訳) 「ガロア理論」シュプリンガー・フェアラーク東京の129ページ

コンパスと定規で作図できる計算は加減乗除と平方根．
角の2等分は三角関数の倍角公式
cos2θ=2(cos θ)^2-1
で，cos2θ がわかっているとき，cosθ を求めることに相当する．
定数 cos2θ=A，未知数 cosθ=x とおくと，二次方程式
A=2x^2-1
より
x=√((A+1)/2)
と解くことに他ならない．
x は加減乗除と平方根で表されるので，角の2等分が作図できることを示している．
実際は，極めて簡単に2等分できる．

角の3等分は三角関数の3倍角公式
cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ
で，cos3θ がわかっているとき，cosθ を求めることに相当する．
定数 cos3θ=A，未知数 cosθ=x とおくと，3次方程式
A=4x^3-3x
を解くことと同等である．解の中には3乗の逆算の「3乗根」が含まれるはずで，それはコンパスと定規で作図できないのである．
実際，3θ=60度のときA=cos3θ=cos60度=1/2 より方程式は
4x^3-3x=1/2
これをカルダノの解の公式で解こうと思ったら，不還元の形．つまり虚数で表される実数になってしまい，その一つは，
$\frac{1}{2}\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{2}\left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$
となった．
これを実際に数値計算すると実数0.939692621で，20度のcosの値 である．


コンパスと定規以外の道具を使って角の3等分はできることもわかっている．