本日の無酸素計算（息を止めて一気に読んでくださいｗ）

3次方程式の一般解を求める手順(カルダノの方法)について．
たとえば簡単な数が2つの3乗根の和で表されてしまって，「どうやればそれを解決できるのだろう？」という場面が出てくる．

たとえば，
$x^3+x-2=0$
の解の一つは 1 だとすぐに見抜ける（1+1-2=0だから）が，一般解を求める方法で計算すると，とんでもない形になる．


一般解を求める方法（カルダノの方法）では，
$x=u+v$
と置き換えて，
$(u+v)^3+(u+v)-2=0$
を変形して，
$u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+(u+v)-2=0$
$u^3+3uv(u+v)+v^3+(u+v)-2=0$
$u^3+(3uv+1)(u+v)+v^3-2=0$
$(3uv+1)(u+v)+u^3+v^3-2=0$
より，
$3uv+1=0$，　$u^3+v^3-2=0$
を満たす　$u$，$v$ を求める．
$3uv+1=0$　より
$v=\frac{-1}{3u}$
を$u^3+v^3-2=0$に代入して
$u^3+\left(\frac{-1}{3u}\right)^3-2=0$
$u^3-\frac{1}{27u^3}-2=0$
両辺を　$u^3$ 倍して，
$(u^3)^2-\frac{1}{27}-2u^3=0$
$(u^3)^2-2u^3-\frac{1}{27}=0$
$u^3$ の2次方程式と考えて，
$u^3=1\pm\sqrt{1+\frac{1}{27}}=1\pm\sqrt{\frac{28}{27}}$
$u^3=1+\sqrt{\frac{28}{27}}$のときは$u^3+v^3-2=0$より，$v^3=-u^3+2$
$v^3=-\left(1+\sqrt{\frac{28}{27}}\right)+2$
$=-1-\sqrt{\frac{28}{27}}+2$
$=1-\sqrt{\frac{28}{27}}$
となる．もし，$u^3=1-\sqrt{\frac{28}{27}}$なら同様の計算で，$v^3=1+\sqrt{\frac{28}{27}}$となるので，　$u$，　$v$　は対称である．したがってここでは，$u^3=1+\sqrt{\frac{28}{27}}$と決めてしまう．

さて，$u^3=1+\sqrt{\frac{28}{27}}$　より，$u$は虚数解も含めて，3つある．それは　$u$の実数解$\sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{28}{27}}}$を　$u_1$とすれば，残りの2つは
$u_1 \omega$，　$u_1 \omega^2$
ただし，　$\omega$は1の虚数3乗根である．
ちなみに1の虚数3乗根は　$\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$の2つであるが，1つを$\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$とおけば，他方は
$\omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$
となり，　$\omega$と　$\omega^2$は対称である．


同様に$v^3=1-\sqrt{\frac{28}{27}}$　より，$v$ は虚数解も含めて，3つあり，　$v$の実数解を　$v_1=\sqrt[3]{1-\sqrt{\frac{28}{27}}}$とすれば，残りの2つは
$v_1 \omega$，　$v_1 \omega^2$


さて，虚数解の　$u$，$v$はどう対応するのだろうか．これには　$v=\frac{-1}{3u}$ と使う．

$u=u_1\omega$のとき，
$v=\frac{-1}{3u_1\omega}$
$=\frac{-\omega^2}{3u_1\omega^3}$
ここで　$\omega$は1の3乗根だから　$\omega^3=1$．
また　$v_1=\frac{-1}{3u_1}$のはずだから（なぜなら，その連立方程式を解いたから）
$v=v_1\omega^2$
となり，$u_1\omega$に対応する　$v$ は
$u_1\omega^2$に対応する　$v$ は
$v_1\omega$
である．したがって，　$x=u+v$より方程式の3つの解は
$u_1+v_1=\sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{28}{27}}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{\frac{28}{27}}}$
$u_1\omega+v_1\omega^2=\sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{28}{27}}}\omega+\sqrt[3]{1-\sqrt{\frac{28}{27}}}\omega^2$
$u_1\omega^2+v_1\omega=\sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{28}{27}}}\omega^2+\sqrt[3]{1-\sqrt{\frac{28}{27}}}\omega$


ところが，方程式
$x^3+x-2=0$
の実数解 1 はすぐ見えるので，
$u_1+v_1=\sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{28}{27}}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{\frac{28}{27}}}=1$
のはずである．この3乗根2つをどう解決するか．
必ずできるという手順は無いのだが，これは次のような試行錯誤で解決するのが普通．


$u_1^3=1+\sqrt{\frac{28}{27}}$
$=1+\frac{2\sqrt{7}}{3\sqrt{3}}$
$=1+\frac{2\sqrt{21}}{9}$
$=\frac{1}{9}(9+2\sqrt{21})$
より，3乗して　$\frac{1}{9}(9+2\sqrt{21})$ となる数を探す．３乗でルートは残るものだから，そのような数は
$a+\sqrt{21}$
のような形をしているはずである．実際3乗して
$(a+\sqrt{21})^3$
$=a^3+3a^2+\sqrt{21}+3a21+21\sqrt{21}$
$=a^3+63a+(3a^2+21)\sqrt{21}$
より，　$\sqrt{21}$　の項に着目して，
$3a^2+21=2$
となる　$a$ を見つければよさそうだが，これをこのまま解くと，
$3a^2=-19$
で，　$a$　は虚数になってうまくいかない．これは
$u_1^3=\frac{1}{9}(9+2\sqrt{21})$
としたからであって，
$u_1^3=\frac{1}{18}(18+4\sqrt{21})$
$=\frac{1}{27}(27+6\sqrt{21})$
$=\frac{1}{36}(18+8\sqrt{21})$
のどれを使ってもいい．つまり
$3a^2+21=4$
$3a^2+21=6$
$3a^2+21=8$
と考えればいい．そして，　$a$は整数であるとありがたいので，右辺が「3の倍数」となり，21を移項して３で割ったら平方数になってくれればいい．
さらに　$\sqrt{21}$ のない項が$a^3+63a=9$の倍数より
$a$は3の倍数でなければならない．
まず右辺が３の倍数になるように３倍して
$3a^2+21=6$
あとは，この６の倍数を並べて，両辺を３で割る．
$3a^2+21=6$，　$a^2+7=2$．
$a^2+21=12$，　$a^2+7=4$．
$3a^2+21=18$，　$a^2+7=6$．
$3a^2+21=24$，　$a^2+7=8$．
この中で7を移行して平方数になるのは，
$a^2+7=8$
であるが，
$a=1$
は３の倍数ではない．
$3a^2+21=30$，　$a^2+7=10$．
$3a^2+21=36$，　$a^2+7=12$．
$3a^2+21=42$，　$a^2+7=14$．
$3a^2+21=48$，　$a^2+7=16$．
この中で7を移行して平方数になるのは，
$a^2+7=16$，　　$a^2=9$
より，$a=3$ でつじつまがあう．


このとき， $\sqrt{21}$　のない項は
$a^3+63a=216$
つまり
$(a+\sqrt{21})^3=(3+\sqrt{21})^3$
$=216+48\sqrt{21}$
これはもとの分子　$9+2\sqrt{21}$ を24倍したものだから，
$u_1^3=\frac{1}{9}(9+2\sqrt{21})$
$=\frac{1}{9\times 24}(9\times 24+2\times24\sqrt{21})$
$=\frac{1}{216}(216+48\sqrt{21})$
$=\frac{1}{6^3}(3+\sqrt{21})^3$
したがって，
$u_1=\frac{1}{6}(3+\sqrt{21})$
$v_1=\frac{1}{6}(3-\sqrt{21})$
であり，たしかに
$u_1+v_1=\frac{1}{6}(3+\sqrt{21})+\frac{1}{6}(3-\sqrt{21})$
$=\frac{1}{6}(3+\sqrt{21}+3-\sqrt{21})$
$=\frac{1}{6}(6+\sqrt{21}-\sqrt{21})=1$
となって，つじつまがあう．

うー酸欠・・・

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＞角度の3等分