卵焼きの失敗と，2円の重なり部分の面積

右手はまだいろいろ不自由である．

とりあえず，手術してからは重いものも持てる様になったが，大根を切るのに力が入らない．刃を立てたら左手で上から押さなければならないのである．

先週の入院前，右手はまったく使えないので，卵焼きを返すのに，左手でやってみた．
そうしたら，失敗して半分ぐらいがフライパンから落ちてしまったorz

退院後は右手でできる．
大根は切れないが，フライ返しは問題ない．

ここで疑問．
円形の卵焼きの半分とは，どのように切り取った大きさだろうか．

もちろん，直径で切れば面積が半分になるが，フライパンから外れたのであるから，円で切り取っている．
直径の半分の位置で切り取った場合は，39.1%しか切り取らないから，もう少し覆わないと，半分を切り取れない．

ここでは簡単のために，卵焼きの直径とフライパンの直径は同じとしている．

簡単に言うと，皆既日食のときに，月が太陽の半分の面積を覆うときの月の位置は，円の直径のどれくらいずれたときだろうかということである．

計算したら，直径の59.6%程度(約6割)覆えば，面積が半分になることがわかった．


これらの計算は，数値積分のできるソフトで計算した．
原点が中心の単位円（半径1）の方程式は，$x^2+y^2=1$より円の上半分は，
$y=\sqrt{1-x^2}$
である．

これとx軸に囲まれた部分の面積は，
$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$
より，円の面積はその2倍の
$2\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx=\pi$
となる．

単位円の重なり部分の長さを a とすれば，(0＜a＜2)

重なった部分の面積の半分は，

先ほどの積分の $1-\frac{a}{2}$ から 1 までの積分
$2\int_{1-\frac{a}{2}}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$
となり，重なり部分の面積はさらに2倍の
$4\int_{1-\frac{a}{2}}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$
となる．これと円の面積π=3.14159 との比が 0.5 に近いところを探ったのである．

この部分の面積は，円の関数の不定積分で，それは逆三角関数などを用いてあらわされる．
$\int\sqrt{1-x^2}dx$
において，$x=\sin t$ とすれば，$dx=\cos t\,dt$ であり，$\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{\cos^2 t}=\cos t$ より，
$=\int\cos^2 t\, dt \\ =\int\frac{1+\cos 2t}{2}\, dt \\ =\frac{1}{2}\int(1+\cos 2t)\, dt \\ =\frac{1}{2}(t+\frac{1}{2}\sin 2t) \\ =\frac{1}{2}(t+\frac{1}{2}2\sin t\, \cos t) \\ =\frac{1}{2}(t+\sin t\, \cos t) \\ =\frac{1}{2}(\arcsin x + x\sqrt{1-x^2})$
より，求める面積は
$=2\left(\arcsin 1 + 1\sqrt{1-1^2}\right) - 2\left(\arcsin(1-\frac{a}{2}) + (1-\frac{a}{2})\sqrt{1-(1-\frac{a}{2})^2}\right) \\ =2\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2\left(\arcsin(1-\frac{a}{2}) + (1-\frac{a}{2})\sqrt{1-(1-\frac{a}{2})^2}\right) \\ =\pi - 2\arcsin(1-\frac{a}{2}) - \left(1-\frac{a}{2}\right)\sqrt{(4-a)a}\\ =2(\frac{\pi}{2} - \arcsin(1-\frac{a}{2})) - \left(1-\frac{a}{2}\right)\sqrt{(4-a)a}\\ =2\arccos(1-\frac{a}{2}) - \left(1-\frac{a}{2}\right)\sqrt{(4-a)a}\\$

これは次のように積分を使わずに求められる．


まず単位円の扇形の中心角が$\theta$のとき，扇形の面積は$\frac{1}{2}\theta$である．

たとえば，単位円(面積π)を4等分した90度＝π/2 の扇形の面積はπ/4である．単位円を12等分した30度＝π/6 の扇形の面積はπ/12である．このように単位円では，扇形の面積は常に「角の半分」である．

さて，重なった部分の面積は扇形から，三角形OABの面積を引いたものの2倍となる．
三角形OABの底辺をOA，高さをOCと考える．
高さOCは半径1から重なりの長さ a/2 を引けばいいので，
$\mathrm{OC}=1-\frac{a}{2}$
であるから，底辺の半分ACは三平方の定理で
$\mathrm{AC}=\sqrt{1^2-\left(1-\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(4-a)a}$
より底辺の長さは
$\mathrm{AB}=\sqrt{(4-a)a}$
となり，三角形OABの面積は
$\frac{1}{2}\left(1-\frac{a}{2}\right)\sqrt{(4-a)a}$

扇形の面積は$\frac{1}{2}\theta$であるが，このθをa の逆三角関数で表す．
三角形OACについて，角AOC はθ/2　であるから，
$\cos\frac{\theta}{2}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OA}}$
ここで，OA=半径=1，$\mathrm{OC}=1-\frac{a}{2}$より，
$\cos\frac{\theta}{2}=1-\frac{a}{2}$
したがって，
$\frac{\theta}{2}=\arccos\left(1-\frac{a}{2}\right)$
よって，扇形の面積は，
$\frac{1}{2}\theta=\arccos\left(1-\frac{a}{2}\right)$

これから三角形の面積を引いたものは，
$\arccos\left(1-\frac{a}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(1-\frac{a}{2}\right)\sqrt{(4-a)a}$
これは2円の重なり部分の半分であったから，重なり部分の面積は，
$2\arccos\left(1-\frac{a}{2}\right)-\left(1-\frac{a}{2}\right)\sqrt{(4-a)a}$

たとえば，重なり部分の長さが，半径と同じ 1 のとき，重なる面積は，
$2\arccos\left(1-\frac{1}{2}\right)-\left(1-\frac{1}{2}\right)\sqrt{(4-1)1}$
で，これは1.2283697となる．＞google電卓
これは円の面積π=3.14159 の0.391002219倍，つまり39.1%となることがわかる．＞google電卓

重なる部分が円の面積の半分になるのは，重なる長さが，1.192054493（直径の59.6%）のときである．＞google電卓

この位置で，卵焼きを受け止めてしまったのだ・・・

＞積分の記事