繰り返す数列（その3）

三角関数で繰り返す数列

同じ数字を繰り返す数列は，mod 関数を組み合わせでなんとでもなる．＞繰り返す数列（その２)

どうしても三角関数の組み合わせにならないかと探ってみた．
つまり，mod を三角関数で表せないだろうか．

7つの数の繰り返しのモトになる，mod 7 で整数を並べると，
0,1,2,3,4,5,6, 0,1,2,3,4,5,6, 0,1,2,3,4,5,6, ・・・
となる．この数列への三角関数
$\sin\frac{2\pi n}{7}$（n=0,1,2,・・・）
からの対応を考えればよい．

$\sin\frac{2\pi n}{7}$の6次式
$f(n)=p (\sin\frac{2\pi n}{7})^6+q (\sin\frac{2\pi n}{7})^5+r (\sin\frac{2\pi n}{7})^4+s (\sin\frac{2\pi n}{7})^3\\ \hspace{10mm}+t (\sin\frac{2\pi n}{7})^2+u (\sin\frac{2\pi n}{7})+v$
に，
0,1,2,3,4,5,6
を代入して，0,1,2,3,4,5,6になるような係数
p,q,r,s,t,u,v
を求めてf(n)を確定すれば，nに$\sin\frac{2\pi n}{7}$を順に代入すれば，f(n)の値は，
0,1,2,3,4,5,6
を繰り返す．

まず，連立方程式
$f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=4, f(5)=5, f(6)=6$
つまり，連立方程式
$ v=0, 0.228391 p + 0.292123 q + 0.373639 r + 0.477903 s \\ \hspace{10mm}+ 0.61126 t + 0.781831 u + v=1, \\ 0.858687 p + 0.88077 q + 0.903421 r + 0.926654 s \\ \hspace{10mm}+ 0.950484 t + 0.974928 u + v=2, \\ 0.00667176 p + 0.0153768 q + 0.03544 r + 0.0816808 s \\ \hspace{10mm}+ 0.188255 t + 0.433884 u + v=3, \\ 0.00667176 p - 0.0153768 q + 0.03544 r - 0.0816808 s \\ \hspace{10mm}+ 0.188255 t - 0.433884 u + v=4,\\ 0.858687 p - 0.88077 q + 0.903421 r - 0.926654 s \\ \hspace{10mm}+ 0.950484 t - 0.974928 u + v=5,\\ 0.228391 p - 0.292123 q + 0.373639 r - 0.477903 s \\ \hspace{10mm}+ 0.61126 t - 0.781831 u + v=6$
を解くと，
p=32, q=12.7596, r=-56, s=-15.0365, t=28, u=1.22612, v=0
となるから，
$f(n)=32(\sin\frac{2\pi n}{7})^6+12.7596(\sin\frac{2\pi n}{7})^5-56(\sin\frac{2\pi n}{7})^4\\ \hspace{10mm}-15.0365(\sin\frac{2\pi n}{7})^3+28(\sin\frac{2\pi n}{7})^2+1.22612(\sin\frac{2\pi n}{7})+0$
が mod(n,7)を表す関数となる．（mathematicaでは係数の厳密解が求まったが，現実的ではない．）

n=10 で 3 を返す．（小数4桁までしか使わないので，精度が悪いが．）
32(sin(10*2π/7))^6+12.7596(sin(10*2π/7))^5-56(sin(10*2π/7))^4-15.0365(sin(10*2π/7))^3+28(sin(10*2π/7))^2+1.22612(sin(10*2π/7))^1

$=\frac{(0.6235+ 0.7818 i)^n - (0.6235- 0.7818i)^n}{2i}$
なので，
$32(\frac{(0.6235+ 0.7818 i)^n - (0.6235- 0.7818i)^n}{2i})^6\\ \hspace{10mm} +12.7596(\frac{(0.6235+ 0.7818 i)^n - (0.6235- 0.7818i)^n}{2i})^5\\ \hspace{10mm} -56(\frac{(0.6235+ 0.7818 i)^n - (0.6235- 0.7818i)^n}{2i})^4\\ \hspace{10mm} -15.0365(\frac{(0.6235+ 0.7818 i)^n - (0.6235- 0.7818i)^n}{2i})^3\\ \hspace{10mm}+28(\frac{(0.6235+ 0.7818 i)^n - (0.6235- 0.7818i)^n}{2i})^2\\ \hspace{10mm} +1.22612(\frac{(0.6235+ 0.7818 i)^n - (0.6235- 0.7818i)^n}{2i})$
とすれば，「三角関数すら使わない」ふりができる．ｗ

n=30 で 2 を返す．（桁を節約しているので，精度は悪い）
32(((0.6235+0.7818 i)^30-(0.6235-0.7818i)^30)/(2i))^6+12.7596(((0.6235+0.7818 i)^30-(0.6235-0.7818i)^30)/(2i))^5-56(((0.6235+0.7818 i)^30-(0.6235-0.7818i)^30)/(2i))^4-15.0365(((0.6235+0.7818 i)^30-(0.6235-0.7818i)^30)/(2i))^3+28(((0.6235+0.7818 i)^30-(0.6235-0.7818i)^30)/(2i))^2+1.22612(((0.6235+0.7818 i)^30-(0.6235-0.7818i)^30)/(2i))