AM変調と三角関数

うなりで，「AM変調」を思い出した．

「AM変調」はたとえばTBSなら 954kHz=954000Hz の振動数の電波を音声信号で強弱をつけている．
音声信号の山で電波が強く，谷で電波が弱くなるという原理で，まぁ簡単に言うと，電波の増幅器に供給される電源の電圧を音声信号で震わせると，出てくる電波が音声信号の通りに強弱するいう原理である．

以前テレビで，発光ダイオードの電源にマイクをつないで，光を音声で震わせ，その光を太陽電池で受けてアンプにつないで「光通信」というのを見たことがある．光のAM変調である．


AM変調は，音声信号の「うなり」を電波に加えるとも言える．


さて，時刻$t$に対して，1000000Hz の電波が振幅1で
$\sin1000000t$
と表されているとする．（本当はω(=2π)を使ったりするが，それは定数なので話を単純にする．）
これの電源を振幅0.1 の音声，たとえば，1000Hz で震わせる．
$\sin1000000t\times(1+0.1\sin1000t)$
「1+」の意味は音声が1000Hzの山のとき，sin1000000の振幅が1.1になり，谷のときはsin1000000の振幅が0.9になる計算である．
この場合音声の振幅は最大で0から1まで許される．


さて，この変調された電波はどの程度の帯域をとるだろうか．0.1sin1000t を「うなり」と考えて，いくつかの波の合成と考えてみる．
$\sin1000000t\times(1+0.1\sin1000t)$
$=\sin1000000t+0.1\sin1000000t\sin1000t$
ここで積和公式
$\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right)$
を用いて，
$=\sin1000000t-0.1\times0.5(\cos1001000t-\cos999000t)$
符号のプラスマイナスは位相が逆なだけだから，マイナスでも「波の和」と考えてよい．また cos は sin と90度位相がずれているだけだからこれも「波の和」である．
つまり 1000000Hz の元の電波に，音声信号の半分の振幅で999000Hzと1001000Hzの電波を加えてうなりを発生させたのが，「AM変調」と考えられる．
帯域は999000Hz～1001000Hzの2000Hz となる．つまり必要な音声帯域の2倍の帯域を占有する．

放送では使われないが，通信ではこの「うなり成分」だけを使う方式があり，「SSB」と呼ばれる．

そもそも
$\sin1000000t-0.1\times0.5(\cos1001000t-\cos999000t)$
において
$\sin1000000t$
の項には音声成分は含まれない．音声成分は音声の振幅0.1が含まれる．
$-0.1\times0.5 \cos1001000t$
$0.1\times0.5\cos999000t$
の2つの項である．

2つあるが，片方だけで音声は伝えられるので，たとえば 0.1×0.5cos1001000t の項だけで通信を行う方式が「SSB」という

AM放送では常に搬送波$\sin1000000t$ を出し続けるので，音声が無くても送信電力を消費し続けるが，SSBでは音声信号が存在するとき(項0.1×)だけ電波が発生するので，全体として効率がよいわけだ．
ただし受信側では，搬送波成分を加えないと音声が再生できない．

2012年12月3日追記＞SSBの波形