1/(x^3+1)の積分

この言葉で，検索された．．
これで検索されたのは，ちょっと違う問題．＞ブログ記事

ということで，解いてみる．

部分分数分解
まず，$\frac{1}{x^3+1}$ を部分分数に分解する．
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ より
$\hspace{5mm}\frac{1}{x^3+1}=\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)} =\frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{x^2-x+1}$
となるような $a$，$b$，$c$ を見つける．
両辺を $(x+1)(x^2-x+1)$倍して，
$\hspace{5mm}1 =a(x^2-x+1)+(bx+c)(x+1) =(a+b)x^2+(-a+b+c)x+(a+c)$
これは恒等式だから，係数を比較して，
$\hspace{5mm}a+b=0$，$-a+b+c=0$，$a+c=1$
この連立方程式を解くと，
$\hspace{5mm}a=\frac{1}{3}$， $b=-\frac{1}{3}$， $c=\frac{2}{3}$
ゆえに，
$\hspace{5mm}\frac{1}{x^3+1} =\frac{\frac{1}{3}}{x+1}+\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^2-x+1} = \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{x+1}+\frac{x+1}{x^2-x+1} \right)$
したがって，積分は
$\hspace{5mm}\int\frac{1}{x^3+1}\,dx =\frac{1}{3}\left(\int\frac{1}{x+1}\,dx +\int\frac{-x+2}{x^2-x+1}\,dx \right)$
と表せる．それぞれ，積分を分けて考える．

1/(x+1)の積分
$\hspace{5mm}\int\frac{1}{x+1}\,dx =\log|x+1|$

続いて2項目(-x+2)/(x^2-x+1) の積分
分母の $x^2-x+1$ の微分が $2x-1$であるから，分子の1次式の中にそれを作り出す．$x$の係数が2だから分母，分子を2倍して，
$\hspace{5mm}-\frac{2x-4}{2(x^2-x+1)} =-\frac{2x-1-3}{2(x^2-x+1)} =-\frac{2x-1}{2(x^2-x+1)}+\frac{3}{2(x^2-x+1)}$
したがって，積分は
$\hspace{5mm}\int\frac{-x+2}{x^2-x+1}\,dx = -\frac{1}{2}\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}\,dx +\int\frac{3}{2(x^2-x+1)}\,dx \\ \hspace{5mm}= -\frac{1}{2}\int\frac{(x^2-x+1)'}{x^2-x+1}\,dx + \frac{3}{2}\int\frac{1}{x^2-x+1}\,dx \\ \hspace{5mm}= -\frac{1}{2}\log(x^2-x+1) + \frac{3}{2}\int\frac{1}{x^2-x+1}\,dx$

3項目1/(x^2-x+1) の積分
まず分母を平方完成すると，
$\hspace{5mm}x^2-x+1 = \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$
より，$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta$と置換すると分母は
$\hspace{5mm}x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\\hspace{5mm}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2(\tan^2\theta+1)=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}$
したがって，$dx=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta$より，
$\hspace{5mm}\int\frac{1}{x^2-x+1}\,dx = \int\frac{1}{\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \\ \hspace{5mm} = \frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\int1\,d\theta = \frac{2}{\sqrt{3}}\theta = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan{\frac{2x-1}{\sqrt{3}}}$

したがって，
$\int\frac{1}{x^3+1}dx = \frac{1}{3}\log|x+1| - \frac{1}{6}\log(x^2-x+1) +\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan{\frac{2x-1}{\sqrt{3}}}$

同様に 1/(x^3-1)の積分
$\int\frac{1}{x^3-1}dx = \frac{1}{3}\log|x-1| - \frac{1}{6}\log(x^2+x+1) -\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan{\frac{2x+1}{\sqrt{3}}}$
（原始関数につきものの「積分定数」は省略しています．）

検算は微分すれば簡単．検索した人はこれをコピペして宿題を完成させればいいw

7/1 追記
「1/(x^2-x+1) 積分」
という検索後でヒットされた．ちょうどこのページに答えがある．きっとこれをコピペしたのだな．

＞＞積分の記事