本日の計算 ArcSin(x/(√(1+x^2))の導関数

$y=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
とおくと，
$\sin y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
左辺をxで微分．合成関数の微分公式で，
$\cos y \times y'$

cos y を x の式にする．
$\sin y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
より cos y を x の式に直す．
$\sin^2 y=\frac{x^2}{1+x^2}$
$1-\sin^2 y=1-\frac{x^2}{1+x^2}$
$\cos^2 y=\frac{1+x^2-x^2}{1+x^2}=\frac{1}{1+x^2}$
$\cos y=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

したがって，
$\sin y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
の左辺の微分は
$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \times y'$ ・・・(1)

一方，右辺の微分は，
$\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)'$
分母の√がうっとうしいので，指数表記して，
$=\left(x(1+x^2)^{\frac{-1}{2}}\right)'$
ライプニッツの公式で，
$=(x)'(1+x^2)^{\frac{-1}{2}}+x\left((1+x^2)^{\frac{-1}{2}}\right)'$
$=1\cdot(1+x^2)^{\frac{-1}{2}}+x\cdot\frac{-1}{2}(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}\left(1+x^2\right)'$
$=(1+x^2)^{\frac{-1}{2}}-\frac{x}{2}(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}\cdot2x$
$=(1+x^2)^{\frac{-1}{2}}-x^2(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}$
$=(1+x^2)^{1+\frac{-3}{2}}-x^2(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}$
$=\left((1+x^2)^1-x^2 \right)(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}$
$=(1+x^2-x^2)(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}$
$=1\cdot(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}$
$=(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}$
$=\frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$

(1)と等しいので，
$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \times y'=\frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$
$y'=\frac{\sqrt{1+x^2}}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{1+x^2}$

でも，
$\frac{1}{1+x^2}$
の原始関数は
$\arctan x$
だったと思う．それを利用して，円周率の計算をしていた．
とうことは，
$\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\arctan x$
かも．式変形してみる．
$y=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
より
$\sin^2 y=\frac{x^2}{1+x^2}$
$1-\sin^2 y=1-\frac{x^2}{1+x^2}$
$\cos^2 y=\frac{1+x^2-x^2}{1+x^2}=\frac{1}{1+x^2}$
ここで，
$\tan^2 y=\frac{\sin^2 y}{\cos^2 y}=\frac{\frac{x^2}{1+x^2}}{\frac{1}{1+x^2}}=x^2$
つまり
$\tan y=x$
$y=\arctan x$
となる．

これを知っていれば，
$y=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\arctan x$
$\tan y=x$
の導関数は，逆関数の微分法で，
$y'=\frac{1}{(\tan y)'}$
$=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 y}}$
$=\frac{1}{1+\tan^2 y}$
$=\frac{1}{1+x^2}$