実数のココロ

結論から言うと「数直線」そのものではある．

四則計算と，大小関係（順序構造）に「連続」の性質が加わったのが実数だ．

四則計算と大小の性質は数式を使ってわかりやすいが，連続の性質は「言葉」だから抽象的である．たとえば「上に有界な実数の集合は上限を持つ」(Weierstrass)とか．
まあ，言っていることは当たり前で，言葉の意味を知ると「いったいわざわざ言う必要ある？」と思えてしまうけど，有理数の集合では「上限がない」ものもあるわけだ．

でも言いたいのは
「数直線，どこを切っても実数がある．」
これこそが連続のココロであり，実数のココロだ．信念といってもよい．

それが具体的に求める手段がなくても，「そこに実数がある」を保証するのが実数の公理（あるいは有理数の切断による実数の定義）であり，微積分などは「そこに実数がある」ことにしてすべての議論を展開する．
「実際に数字を並べなくても」，いや，「並べる方法が未知でも」である．

たとえば，「直径と円周との比」の円周率．
無理数であることが証明されるので，循環しない無限小数であり，すべての桁を求めることは不可能．
このことを以って，「そんな数はあるの？」と感じる人もいるようだが，数学では「そこに円周率がある」ことを公理で保証して議論する．
つまり実数の存在は，公理で保証（あるいは有理数の切断で実数を「定義(Dedekind)」）しなければならない「信念」でもある．

公理から証明されることのひとつに，「数列の各項の差がいくらでも小さくなればひとつの実数に収束」がある．（Cauchy列 という．）
つ まり小数を無限に並べる方法があれば，桁数が一桁伸びるごとに「差が1/10倍づつに縮まる」から実際に無限に並べて見せなくても，「そこに実数がある」 と証明されるのだ．だから無限に求める方法の確立している円周率は，無限に時間をかけなくても「存在する実数」といえる．


さらに，公理から証明される事実に，「単調増加列が，ある数よりいつも小さければ，一つの実数に収束する」という定理がある．
つまり上から押さえられているのに，増え続けるなら，どっかで止まるというもの．
なんだかとっても「あたりまえ」である．
このあたりまえと思えるこのことから，「数字を並べる方法が見つからなくても存在する」することが保証され，さまざまな実数の存在が保証される．

自然対数の底も$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$の極限として定義される．
この数列は自然数nを大きくすると単調に増加する．
しかし，３より小さいことが証明できる．
「単調増加列が，ある数よりいつも小さければ，一つの実数に収束する」という定理によって，（３より小さい数に）収束することが言える．
（実際は2.718281828459…）

高校の数学IIで出てくる指数関数
$2^3=8$
$2^{1.5}=2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{2^3}=\sqrt{8}$
については，
$2^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{2^m}$
と定義される．
これを見ると，指数が分数でなければ定義できない気がするが，「そこに実数がある」おかげで
$2^{\pi}=2^{3.14159\cdots}$
もアプリオリに定義されるのである．

実際次のように存在が保証される．
$2^{3.1}=2^{\frac{31}{10}}=\sqrt[10]{2^{31}}$
$2^{3.14}=2^{\frac{314}{100}}=\sqrt[100]{2^{314}}$
$2^{3.141}=2^{\frac{3141}{1000}}=\sqrt[1000]{2^{3141}}$
は単調に増加する．しかしどれもこれも
$2^{4}$
よりも小さい．
上から押さえられる単調増加列は収束（つまり存在←実数のココロ）するので，その極限（存在することが保証された実数）を
$2^{\pi}=2^{3.14159\cdots}$
と「定義」するのである．

中間値の定理も，実数の性質そのものである．
つまり連続関数f(x)が3から4に変わるとき，その途中の3.5を横切る．
つまり，f(a)=3.5となる「実数aがあるよ」というのである．当たり前ですか？
これが，「そこに実数があるよ」のココロで，初めて存在がアプリオリに保証される．

5次以上の方程式には（加減乗除と累乗根で表される）解の公式な存在しないことが証明されているが，100次関数 f(x) が 3から4 に変わるとき
f(a)=3.5
となる x=a が存在することが，保証される．

5次以上の方程式には解の公式が存在しないが，n次方程式には高々n個の解が存在することを保証するのは，「切ったところに数がある」実数のココロである．
（実際は数直線2本を直交させた複素平面上のn次関数の議論になるが．）＞代数学の基本定理


実数のひとつである円周率は人間の「言語」である．無限の桁数であっても結局は「言語」
5cmという長さも「言語」である．

5cmという長さが言語にあるなら，πcmも言語である．
数学は人間の言語の中にのみアプリオリに存在する．
数学では，5cmとπcmの存在に大差はないのだ．

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