sin の因数分解

調和級数（等差数列の逆数の和）
$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$
が発散することは有名．
分母の2乗の和の級数は収束する．
$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{\pi^2}{6}$

これを発見したのはオイラーだが，ものすごくおおらかな式変形でつきとめた．

$\sin x=0$
を満たす $x$ は
$x=0,\ \pm\pi,\ \pm 2\pi,\ \pm 3\pi,\ \cdots$
となる．
一方，解が$a$, $b$ である2次方程式は
$(x-a)(x-b)=0$
と表すことができる．
解が $a$, $b$, $c$, … なら
$(x-a)(x-b)(x-c)\cdots=0$
である．
ということは解が
$x=0,\ \pm\pi,\ \pm 2\pi,\ \pm 3\pi,\ \cdots$
の場合
$x(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)(x-3\pi)(x+3\pi)\cdots=0$
となるはず．

つまり
$\sin x=x(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)(x-3\pi)(x+3\pi)\cdots$
$=x(x^2-\pi^2)(x^2-4\pi^2)(x^2-9\pi^2)\cdots$
と「因数分解できる！」（＠O＠）

なんとおおらかな式変形．

これの左辺を展開すると、定数項が発散してしまうから、定数$A$として、

$\sin x=Ax\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots$

としても、$\sin x=0$ の解が

$x=0,\ \pm\pi,\ \pm 2\pi,\ \pm 3\pi,\ \cdots$

であることには変わりない。

定数$A$は、両辺を$x$で割り、$x\to 0$の時の極限は、

左辺$=\frac{\sin x}{x}\to 1$

右辺$=A\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots \\ \to A\left(1-0\right)\left(1-0\right)\left(1-0\right)\cdots= A$

より、$A=1$なので、

$\sin x=x\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots$

となる。

これを展開すると
$\sin x = x-\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots\right)\frac{x^3}{\pi^2}+\cdots$
一方，マクローリン展開では
$\sin x = x-\frac{x^3}{6}+\cdots$
$x^3$の係数比較で，
$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$

もちろんこの式変形は「論証」とはいえないので，オイラーは極限をπ^2/6と仮定して正しいこと解析的に証明した．
でも，証明するにも，極限がわからなければ証明のしようがないわけで，それを突き止めるオイラーのおおらかな式変形は，感動的である．