任意の有限数列の一般項

たとえば，
1,3,5,7,…
という数列の一般項は　2n-1 と表される．
1,2,4,8,…
なら　2^(n-1) となりそうである．

しかし，
1,2,4,8,…
は「等比数列」という制限がつけばそのとおりだが，
階差数列は
1,2,4,…
この階差数列は
1,2,…
これがこのまま 1,2,3,4,…となるなら元の数列は
1,2,4,8,15,26,…であり，一般項は
(1/6)n(n^2-3n+8)
となる．

これは階差数列を使わずとも，次の方法で求まる．
1,2,4,8
で始まる数列をnの多項式f(n)で表すことを考える．
つまり f(1)=1，f(2)=2，f(3)=4，f(4)=8
となる多項式である．この4項で4つの方程式が作られるから，
未定係数が4つある3次式であれば f(n)が決定する．
f(n)=an^3+bn^2+cn+d
とおき，連立方程式
a+b+c+d=1，8a+4b+2c+d=2，27a+9b+3c+d=4，64a+16b+4c+d=8
を解けば，
a=1/6，b=-1/2，c=4/3，d=0
となり1,2,4,8から始まる数列の一般項は
多項式　(1/6)n^3-(1/2)n^2+(4/3)n
整理すれば
(1/6)n(n^2-3n+8)
である．

この方法を使えば，どんな数列でも有限個の項がわかっていれば，それにつじつまが合うような多項式の一般項が得られることがわかる．
たとえば東京のVHFテレビのチャンネル 1,3,4,6,8,10,12 の数列の一般項は6次式
(1/720)(-5n^6+129n^5-1325n^4+6855n^3-18470n^2+25056n-11520)
である．

1年のうち31日まである月 1,3,5,7,8,10,12 の数列の一般項も6次式
(1/360)(-5n^6+117n^5-1070n^4+4845n^3-11345n^2+13578n-5760)
である．

モーニング娘の構成人数の変遷
5,8,7,8,7,11,10,9,13,12,16,15,14,12,11,10,11,10
の一般項は
(- 53454n^17
+ 8608715n^16
- 639460576n^15
+ 29060629940n^14
- 903718507468n^13
+ 20377149144170n^12
- 344388930734992n^11
+ 4447656188841580n^10
- 44341085480565302n^9
+ 342362122596180115n^8
- 2041480480994060288n^7
+ 9317115741894698920n^6
- 32021838723540512576n^5
+ 80754775671705510000n^4
- 143454348533006838144n^3
+ 167850188191039138560n^2
- 114290029103014195200n
+ 33584362648252416000 ) / 177843714048000
である．
この数列の19項は-213065となり，モーニング娘の次の構成人数は-213065人になってしまうが，次の構成人数が決まれば，さらに18次式でつじつまを合わせることができる．


逆に言えば，有限個の数字を並べ，その後ろに「……」を書いて一般項を求めさせる問題はナンセンスであるといえる．
どんな式を書いても，その有限個の中でつじつまが合えば，すべて正解となる．