積分の質問

コメントで質問を受けた．
質問のコメント

コメントで答えようとおもったけれど，長くなったので記事に．

> 積分の概念って何?

積分は，とりあえず1変数実数値関数の場合（つまり高校数学のレベル）では「微分積分学の基本定理」によって，「微分の反対操作」でいいでしょう．つまり変化率を表す関数がわかっているとき，元の関数を突き止める操作．
たとえば，ある棒状のものが場所によって密度が異なるとき，密度の関数の積分が，棒のある長さの質量になります．
計算だけなら「微分の反対」，意味を考えるならリーマンの定理．どっちも無味乾燥な気がして，結局「微積って何？」となってしまいますねぇ．
円の面積$\pi r^2$を半径方向に微分すると円周$2\pi r$とか，容量Cのキャパシタに蓄電された電荷$CV$クーロンを電圧で積分すると，蓄電されたエネルギー$\frac{1}{2}CV^2$ジュールとか，世の中いろんなものに，微積の関係はある．

> なぜlogの絶対値？
$\log x$が定義できるのは，$x\gt0$のときで，その微分は$\frac{1}{x}$です．
$\log(-x)$が定義できるのは$x\lt 0$のときで，その微分は$\frac{1}{-x}(-x)'=\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}$です．
ということは，$x\gt0$のとき$\frac{1}{x}$の積分は$\log x$
$x\lt 0$のとき$\frac{1}{x}$の積分は$\log(-x)$
したがって，$x\neq 0$のとき，$\frac{1}{x}$の積分は$\log|x|$

さらに，$(\log2x)'=\frac{1}{x}$，$(\log(-7x))'=\frac{1}{x}$ などとなるので，$\frac{1}{x}$の積分は$\log|kx|$かなと思えるけど，
$\log2x=\log2+\log x$ となり，$\log 2$は原始関数にはつきものの「積分定数」ということで，$\frac{1}{x}$の積分は$\log|x|$

$x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\gt0$より，$x^2-x+1$が0以下になる心配はなく，$\log(x^2-x+1)$に絶対値はいらない．

> なぜarctan？
$\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$のとき，$\arctan{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{3}$と書きます．
$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta$ より $\tan\theta=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)=\frac{2x-1}{\sqrt{3}}$
したがって，$\theta$のときのタンジェントの値が，$\frac{2x-1}{\sqrt{3}}$なので，$\theta$そのものは，$\frac{2x-1}{\sqrt{3}}$の逆タンジェントであらわされるのです．

なので
$\tan\theta=\frac{2x-1}{\sqrt{3}}$ より $\theta=\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}$

＞＞積分の記事