チコちゃんで円周率

「円周率がずっと続くのはなぜ？」
「円の長さを正確に測るのは本当に無理だから」

アルキメデスによる正96角形による近似、1600年にルドルフ・ファン・コーレンの正461京角形を使った近似といくらでも近似できるが、それでも円の長さは正確に測れない。
ということは、円周率は終わらない。

という簡単な説明。

論理の力による証明は強力だが、そういうことに不慣れな人に「腑に落ちた」と思ってもらうには、正多角形の説明はいいな。
正461京角形とは正$2^{62}$角形ということ。 $2^{62}$は 461京1686兆184億2738万7904 という数だが、正方形から角の2等分を繰り返した図形でなので、ルートを使って長さをいくらでも計算できるのである。

論理なら、
「無理数は無限小数である。」
「円周率は無理数である」
ゆえに、「円周率は無限小数である。」
という3段論法。
円周率が無理数である証明は、大学入試問題になる程度の高校数学である。＞以前の記事


ときどき大学入試で
$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots = \frac{\pi}{4}$
を求めさせる問題が出る。＞以前の記事
つまり
$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{13}{15}$
$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{76}{105}$

・・・

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots-\frac{1}{99}=\frac{850151369116051611488718369170287588082}{1089380862964257455695840764614254743075}=0.78039866...$

分子も分母も限りなく大きくなる。つまり、有理数ではないから無理数といえて、無限小数である。