円周率の数値計算

円周率は円周と直径の比である．
たくさんの桁数が求まっている．
もちろんこれも実測するわけではない．円周率に収束する式がある．
高校の知識で求まる公式の一つが，ライプニッツの公式．
$$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots=\frac{\pi}{4}$$
というもの．

ここから先はくろべえのメモ・・・・


初項a，公比rのn項までの等比数列の和の公式
　　$a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

これって，展開（因数分解）の公式でもある．
$(x-1)(x+1)=x^2-1$
$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$
$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1$
$(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1$
…
$(x-1)(x^{n-1}+\cdots+x^3+x^2+x+1)=x^n-1$

両辺を $x-1$ で割ると
　　$x^{n-1}+\cdots+x^3+x^2+x+1=\frac{x^n-1}{x-1}$

両辺を a 倍すれば等比数列の和の公式完成．
あ，右辺の分母分子をそれぞれ $-1$ 倍も．

初項1，公比rのn項までの等比数列の和は
　　$1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}=\frac{1-r^n}{1-r}$
より，これで　$r=-x^2$ とすると
　　$1-x^2+x^4-\cdots+(-x^2)^{n-1}=\frac{1-(-x^2)^n}{1+x^2}$
　　$1-x^2+x^4-\cdots+(-1)^{n-1}x^{2n-2}=\frac{1}{1+x^2}-\frac{(-x^2)^n}{1+x^2}$

左辺を積分区間 $0\le x \le 1$で積分すると
　　$\int_0^1(1-x^2+x^4-\cdots+(-1)^{n-1}x^{2n-2})dx$

　　$=[x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}]_0^1$

　　$=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{2n-1}$

右辺の積分は
　　$\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx-(-1)^n\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2}dx$
右辺の第1項は$\frac{\pi}{4}$ になる．（数学IIIの教科書に必ず出ている積分）

実際，$x=\tan \theta$ で置換すると，積分区間 $0\le x\le 1$ は $0\le \theta \le\frac{\pi}{4}$ となり，
　　$dx=\frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$（置換）
　　$\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\int_0^1\frac{1}{1+\tan^2 \theta}\cdot\frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$
$1+\tan^2 \theta=\frac{1}{\cos^2 \theta}$ （数学Iの公式） だから約分できて
　　$=\int_0^1 1 d\theta=[\theta]_0^\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$

よって右辺は
　　$\frac{\pi}{4}-(-1)^n\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2} dx$

左辺を $S_n$ とおく．
　　$S_n=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$
つまり
　　$S_n=\frac{\pi}{4}-(-1)^n\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2} dx$
より
　　$\frac{\pi}{4}-S_n=(-1)^n\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2} dx$
になる．

この積分は0に収束する．

これは数学IIIの教科書に必ず出ている積分の強単調性（不等号の＝が取れる）を使った証明である．
$x\ge 0$ より，$x^{2n}\ge 0$ で $1+x^2\ge 1$ なので，

　　$0 \lt \frac{x^{2n}}{1+x^2} \le x^{2n}$
それを積分すると，強単調性で
　　$0 < \int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2}dx < \int_0^1{x^{2n}}dx$

$\int_0^1{x^{2n}}dx=[\frac{x^{2n+1}}{2n+1}]_0^1=\frac{1}{2n+1}$ なので，

　　$0 < \int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2}dx < \frac{1}{2n+1}$

$n\to\infty$ で $\frac{1}{2n+1}\to0$ となるからはさみうちの原理で，

　　$\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2} dx\to0$


よって $\frac{\pi}{4}-S_n=(-1)^n\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2} dx\to0$，つまり $\lim_{n\to\infty}{(\frac{\pi}{4}-S_n)}=0$

　　$\frac{\pi}{4}=\lim_{n\to\infty} S_n=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$


これがライプニッツの公式．（数学IIIまでの計算技術で求まる．実際，2000年 W大の入試問題に出た．）

入試問題なら誘導しないと無理．

(1) $1-x^2+x^4-x^6+\cdots +(-1)^n x^{2n-2}$ の和を求めよ．

(2) $S_n=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{2n-1}$ とする．

このとき，$S_n=\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx-(-1)^n\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2}dx$ を示せ．

(3) $\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$ を求めよ．

(4) $0<\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2}<\frac{1}{2n+1}$ を示せ．

(5) $\lim_{n\to\infty}S_n$ を求めよ．

ライプニッツの公式は収束は遅く，現代の円周率の計算にはもっと高速に収束するものが使われる．
高校の数学の知識で求めることのできる高速な公式は，1704年にマチンがライプニッツの公式を改良した式．

$\frac{\pi}{4}=(\frac{4}{5}-\frac{1}{239})-\frac{1}{3}(\frac{4}{5^3}-\frac{1}{239^3})+\frac{1}{5}(\frac{4}{5^5}-\frac{1}{239^5})-\frac{1}{7}(\frac{4}{5^7}-\frac{1}{239^7})+\cdots$

マチンの公式はライプニッツの公式の各項

　　$(-1)^{n-1}\frac{1}{2n-1}$

に

　　$(\frac{4}{5^{2n-1}}-\frac{1}{239^{2n-1}})$

をかけたものである．

マチンの公式を導く

上記のように $\tan\frac{\pi}{4}=1$ から求めるのだが，そのために $\tan\theta=x$ の逆関数 $\theta=\arctan x$ の級数展開を求める．

初項 1，公比 $-t^2$，項数 $n$ の等比数列の和より，

　　$1-t^2+t^4-t^6+\cdots+(-t^2)^{n-1}=\frac{1-(-t^2)^n}{1-(-t^2)}$

　　$1-t^2+t^4-t^6+\cdots+(-1)^{n-1}t^{2n-2}=\frac{1-(-1)^n t^{2n}}{1+t^2}$

左辺の$0\le t \le x$ の積分は

　　$\int_0^x(1-t^2+t^4-t^6+\cdots+(-1)^{n-1}t^{2n-2})dt$

　　$=[t-\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}-\frac{t^7}{7}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{t^{2n-1}}{2n-1}]_0^x$

　　$=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}$

右辺の$0\le t \le x$ の積分は

　　$\int_0^x\frac{1-(-1)^n t^{2n}}{1+t^2}dt=\int_0^x \frac{1}{1+t^2}dt-\int_0^x \frac{(-1)^n t^{2n}}{1+t^2}dt$

と2つの積分に分けられる．

右辺１つ目の積分

　　$\int_0^x \frac{1}{1+t^2}dt$

は $t=\tan \eta$ と置換すると，$0<t<x=\tan\theta$ のとき，$0<\eta<\theta$ 

　　$dt=\frac{1}{\cos^2\eta}d\eta$，$1+t^2=1+\tan^2\eta=\frac{1}{\cos^2\eta}$

より，

　　$\int_0^x \frac{1}{1+t^2}dt=\int_0^\theta \frac{\cos^2\eta}{1}\frac{1}{\cos^2\eta}d\eta=\int_0^\theta 1 d\eta=[\eta]_0^\theta =\theta =\arctan x$

右辺の2つ目の積分

　　$-\int_0^x \frac{(-1)^n t^{2n}}{1+t^2}dt=-(-1)^n \int_0^x \frac{t^{2n}}{1+t^2}dt$

において，

　　$\int_0^x \frac{t^{2n}}{1+t^2}dt$

は $t\ge 0$ より，$t^{2n}\ge 0$ と $1+t^2\ge 1$ から

　　$0\le \frac{t^{2n}}{1+t^2} \le  t^{2n}$

積分の強単調性により

　　$0<\int_0^x \frac{t^{2n}}{1+t^2}dt<\int_0^x  t^{2n}dt$

ここで，

　　$\int_0^x  t^{2n}dt=[\frac{t^{2n+1}}{2n+1}]_0^x=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

であるから，

　　$0<\int_0^x \frac{t^{2n}}{1+t^2}dt<\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

$n\to\infty$ のとき，$\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\to 0$ より，はさみうちの原理で

　　$\int_0^x \frac{t^{2n}}{1+t^2}dt\to 0$

よって，右辺は$n\to\infty$ のとき

　　$\int_0^x \frac{1}{1+t^2}dt-\int_0^x \frac{(-1)^n t^{2n}}{1+t^2}dt \to \theta+0=\theta$

となり，

　　$\theta=\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cdots$

と級数展開される．

よって，$x=\tan\theta$ より，$\theta=\arctan x$ で

　　$\theta=\arctan x=\int\frac{1}{1+x^2}dx$

　　$=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$

　　$=\sum\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{2n-1}$ 

となる．

これで，$x=\tan\frac{\pi}{4}=1$ を代入したものが，ライプニッツの公式 $\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$

$$\pi=\sum (-1)^{n-1}\frac{4}{2n-1}$$

マチンの公式は
$\tan\alpha=\frac{1}{5}$ を使う．
$\tan$ の加法定理（数学II）より
　　$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}$
さらに
　　$\tan4\alpha=\frac{2\tan2\alpha}{1-\tan^2 2\alpha}=\frac{120}{119}>1=\tan\frac{\pi}{4}$

　　$\tan4\alpha>\tan\frac{\pi}{4}$

　　$4\alpha\gt\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta$ とすると，$\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}$ より
　　$\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan4\alpha-\tan\frac{\pi}{4}}{1+\tan4\alpha\tan\frac{\pi}{4}}=\frac{\frac{120}{119}-1}{1+\frac{120}{119}}=\frac{1}{239}$

$\tan\alpha=\frac{1}{5}$より，$\alpha=\arctan\frac{1}{5}$ 

と

$\tan\beta=\frac{1}{239}$より，$\beta=\arctan\frac{1}{239}$ 

を級数展開の $x$ に代入すれば，マチンの公式が完成する．

$\tan\frac{\pi}{4}=\tan(4\alpha-\beta)$より，

　　$\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}$
　　$=4\sum\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}(\frac{1}{5})^{2n-1}-\sum\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}(\frac{1}{239})^{2n-1}$

　　$=4\sum\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\frac{1}{5^{2n-1}}-\sum\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\frac{1}{239^{2n-1}}$

　　$=\sum\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\frac{4}{5^{2n-1}}-\sum\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\frac{1}{239^{2n-1}}$

　　$=\sum\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}(\frac{4}{5^{2n-1}}-\frac{1}{239^{2n-1}})$

$$\pi= \sum(-1)^{n-1}\frac{4}{2n-1}(\frac{4}{5^{2n-1}}-\frac{1}{239^{2n-1}})$$

ライプニッツの公式の第4項までの和
　　$4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}=\frac{304}{105}=2.8952381$
3.14 にはだいぶ遠い．

マチンの公式の第4項までの和

　　$4(\frac{4}{5}-\frac{1}{239})-\frac{4}{3}(\frac{4}{5^3}-\frac{1}{239^3})+\frac{4}{5}(\frac{4}{5^5}-\frac{1}{239^5})-\frac{4}{7}(\frac{4}{5^7}-\frac{1}{239^7}) =\frac{76528487109180192540976}{24359780855939418203125}$

　　$=3.14159177$
3.14159265 にだいぶ近い．

エクセルでやってみた

項数 $n$	$(-1)^n\frac{4}{2n-1}$	ライプニッツ	$(-1)^n\frac{4}{2n-1}(\frac{4}{5^{2n-1}}-\frac{1}{239^{2n-1}})$	マチン
1	4	4	3.183263598	3.183263598
2	-1.333333333	2.666666667	-0.042666569	3.140597029
3	0.8	3.466666667	0.001024	3.141621029
4	-0.571428571	2.895238095	-2.92571E-05	3.141591772
5	0.444444444	3.33968254	9.10222E-07	3.141592682
6	-0.363636364	2.976046176	-2.97891E-08	3.141592653
7	0.307692308	3.283738484	1.00825E-09	3.141592654
8	-0.266666667	3.017071817	-3.49525E-11	3.141592654
9	0.235294118	3.252365935	1.23362E-12	3.141592654
10	-0.210526316	3.041839619	-4.41506E-14	3.141592654

$n=7$ 以降，マチンのほうはエクセルの有効数字を超えた桁の和となる．

$n=10$ で，

ライプニッツは$\frac{44257352}{14549535}=3.04184$

マチンは$\frac{89928619715553629727934260725194033068316951644953171299921299656}{28625168706323283759630195891540657933297666848187847137451171875}=3.1415926535897916969$

となり，$\pi=3.14159265358979323846\cdots$ と14桁目まで一致．

ライプニッツで14桁目まで一致させるには，$n=100 000 000 000 000$(14桁)くらいの項数が必要．

現代の桁数アップ競争は，いかに収束の速い式（アルゴリズム）を導くかにかかっている．
関連サイト 1　2　3

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linked: 1 2 3

追記＞「関孝和」

追記＞円周率がずっと続くのはなぜ？