循環論法

円の面積は $\pi r^2$ だから扇形の面積の公式もできる．
それを根拠に，$x\to0$ のとき極限
$\frac{\sin x}{x}\to1$
が導かれ，これを使うと sin，cos，tan の微分がそれぞれ cos，-sin，$\frac{1}{\cos^2}$ が導かれる．
そしてその逆計算が積分で，
円の面積は $\pi r^2$ が求まる．

でもこれを使って，扇形や$\frac{\sin x}{x}\to1$を導いたりする・・・ということで論理の循環．


それじゃ，円の面積自体を積分を使わず，古代ギリシャの取り尽くし法でやろう．
円を無数の直径で分割し，半分の数の扇形を下に，残りを上にして互い違いに組み合わせると，長方形ができる．
辺の長さは，周の長さ$\pi r^2$と求まる・・・
この論拠は分割を多くすると，弧の長さと弦の長さがほとんど変わらないというところにある．
つまり弦の長さ $x$ がほとんどかわらない．
ようするに $x\to0$ における極限が１であることを暗黙に使用している．

やっぱり循環している．

これを解決するには「どこかを定義にしてしまう」しかない．
円の面積を$\pi r^2$になった」と言いたいし．
それから，$\frac{\sin x}{x}\to1$　も「証明したい．」

ということで，大学以上の微積分の教科書では，級数展開で sin, cos を定義している．
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
もともとこれも，$\sin x$ のマクローリン展開なので，
「$\frac{\sin x}{x}\to1$から sin の微分が cos」を使うわけで，循環しているわけだが，循環をとめるためにこの級数展開自体を「sinの定義」にしてしまうわけだ．

で，$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\cdots \to 1$は面積を使うことなく一瞬にして示され，sin の微分も cos になり，円の面積が積分で計算されるようになるわけだ．

このこと自体は，論理の循環を防止する「技術的なこと」であるから，高校の教科書程度では「しらんぷり」を決め込むのが教育的だし，本質的には古代ギリシャの取り尽くし法でＯＫなのである．
しかし，論理の整合性を重視する「数学科」の教育では無視できない状況になるため，こういったことに踏み込むことになる．