円周率は無限小数で，さらに分数にならない

これは
「円周率は無理数である」
という一言で片付くのであるが．

円周率の話題は今までもたくさん書いている．＞サイト内の記事

円周率の計算記録が伸びるニュースが伝わると，「いつか終わるのだろうか」という素朴な疑問を持つ人もいるようだ．
もちろん，円周率は無理数なので，終わることはない．
実際の計算も，「無限に長い式」を途中で止めて，「今回は○桁」である．

そもそも，
「分数にならない実数を無理数という」
のであるから，無理数である円周率は分数にならないことも明らか．

さて，
「無理数ならば無限小数」
を示すことも，たやすいことである．

それはその対偶である，
「有限小数ならば分数（有理数）」
と同値だからである．

証明
小数n桁なら，分数の分母に$10^n$（0の個数がn個の100…0という数）をつかえば，分子も整数になる．

これは証明より，実例のほうが納得できる．
123.456789 という有限小数は
$\frac{123456789}{1000000}$
という分数（整数比）になるということである．

「有限小数ならば分数（有理数）」
が示されたのでその対偶
「分数（有理数）でないならば有限でない小数」
も正しい．ここで，
「分数（有理数）でない実数を無理数という．」
「有限でない小数を無限小数という．」
なので，言葉を置き換えれば，
「無理数ならば無限小数」
が言える．

ということで，円周率は無理数であることがわかっているので，分数で表すことができず，「無限小数」といえる．
同様に高校の教科書で，無理数であると証明している√2も無限小数である．


問題は円周率が無理数であることを証明すること．結構面倒だが，高校レベルの数学でできる．＞参考サイト(PDF)

大阪大学の入試問題になった．＞入試問題 大阪大学　後期４


さて，無限小数の中には，分数で表されるものもある．
つまり，無理数ならば分数にならないし無限小数だが，無限小数の中にも分数（有理数）がある．（正しい命題の逆が成り立つとは限らない）
1÷3 = 0.333・・・
1÷7 = 0.142857 142857 ・・・
分数には，このように循環する無限小数がたくさんあるが，逆に，循環小数はすべて分数（有理数）であるといえる（高校の数学III）．たとえば，
0.5736866 5736866 5736866・・・＝ 5736866/9999999 = 1234/2151
のように必ずできる．＞循環小数の話題

したがって，無理数である円周率や√2は，循環もしない無限小数といえるし，無理数なので分数にもならない．

さて，5736866/9999999 = 1234/2151 の約分はユークリッドの互除法を使う．＞過去の記事
＞くろべえ「互除法」関連の記事

ユークリッドの互除法
9999999 - 5736866 = 4263133
5736866 - 4263133 = 1473733
4263133 - 1473733 × 2 = 1315667
1315667 - 158066 × 8 = 51139
158066 - 51139 × 3 = 4649
51139 - 4649 × 11 = 0
より最大公約数 4649．
5736866 ÷ 4649 = 1234
9999999 ÷ 4649 = 2151
5736866 / 9999999 = 1234 / 2151

追記＞円周率がずっと続くのはなぜ？