正多面体，どれが丸い？

つまり球に近い正多面体はどれか？
という問題．

正四面体，立方体，正八面体，正12面体，正20面体のなかで，面の数から言えば正20面体がいちばん丸い（球に近い）という気がする．

球に内接する多面体を考え，体積が一番大きいのが球に近い（丸い）と考えると，実は正12面体が一番体積が大きく，丸いといえる．
球に内接する場合は，頂点で球に接する．
頂点の数で言えば，正12面体が頂点20，正20面体が頂点12．つまりたくさんの頂点で球の中に出っ張って接する正12面体が一番体積が大きい．
その意味で，出っ張りの多い正12面体が一番「丸い」

しかし球に外接する多面体を考え，一番小さい体積のものが球に近い（丸い）とすると，逆転する．
球に外接する場合は，面が球に接するので，接する面が一番多い正20面体が一番体積が小さくなる．
その意味で，出っ張りの少ない正20面体が一番「丸い」

さて，どっちの「丸い」を取るべきか・・・