正多面体が5種類である理由 その２

正多面体は5種類の理由を，もう少しすっきりと書けば，

正$m$角形の内角の和は
$(m-2)\pi$
なので，内角の大きさは
$\frac{m-2}{m}\pi$

多面体の1つの頂点に正$m$角形が$n$個集まっているときの角度の合計は
$n\times\frac{m-2}{m}\pi$
これが$2\pi$以上になると立体にならないので，
$n\times\frac{m-2}{m}\pi\lt2\pi$

$n\times\frac{m-2}{m}\lt2$
$n(m-2)\lt2m$
$n(m-2)-2m\lt0$
$n(m-2)-2m+4\lt4$
$n(m-2)-2(m-2)\lt4$
$(n-2)(m-2)\lt4$

3角形以上が3個以上あつまらないと立体にならないので，
$m\ge3$，　$n\ge3$

$(n-2)(m-2)\lt4$を満たす(m,n)の組み合わせは
(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(5,3)
しかない．これより大きい数字を入れると4より小さくならない．

つまり
正3角形が3個
正3角形が4個
正3角形が5個
正4角形が3個
正5角形が3個
の高々5種類だけ．

$(n-2)(m-2)\lt4$
はもっとすっきり
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{2}\gt1$
とも書ける．これを$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\gt\frac{1}{2}a$と書かないのは，比べる相手が分数より1のほうが見通しがいいからかな．