循環小数

1÷3 = 0.333・・・
1÷9 = 0.999・・・
というもの．
1÷7 = 0.142857 142857 ・・・
といった，なかなか豪華なものもある．

10進法では 10=2×5 より，2や5の累乗の積だけでで割ると割り切れる．他の素数が混ざると，割られる数（分子）にその素数の倍数が含まれなければ割り切れずに無限小数になる．無限小数といっても，同じ数字を繰り返す循環小数である．

整数の比は，割り切れなければ必ず循環小数になる．
というのも，ある整数で割ったときの余りは，その整数より1だけ小さいはずだからである．

たとえば，13で割ると，余りの種類は，
　　0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
だけ．余り0は割り切れたということだから，割り切れなければ，12桁以内に同じ余りが出現し，その先は循環する．
実際，1÷13 では，
　10-0×13=10
　100-7×13=9
　90-6×13=12
　120-9×13=3
　30-2×13=4
　40-3×13=1
　10-0×13=10
と，最初と同じ余りになるから，1÷13 の循環節は12桁まで到達することなく，6桁である．

循環の長さと，割る数にはどんな関係があるかという疑問も出る．
これは，無限小数を分数（整数比）に直す方法からわかる．
たとえば，
　　0.1234 1234 1234 ・・・ = 1234/9999
である．分子に循環節，分母に循環の長さの9を並べるというものである．この理由は数学IIIの等比級数の極限で説明がつく．
分母の 9 の数を増やせば，いくらでも長い循環を作ることが可能である．

7や13で割ったときの循環の長さが 6 なのは，
　999999 = 3×7×11×13×37
だからである．ほかの 11や37はもっと短い循環節に対応している．

1桁の循環になるのは
　9=3×3
より 3，9で割ったとき．

2桁の循環になるのは
　99=3×3×11
より 11 で割ったとき．
でも，11×11 = 121 でわると
　　1÷121 =　0.0082644628099173553719
　　　　　　　　0082644628099173553719
　　　　　　　　・・・
より22桁もの循環になる．それは 11×11 = 121 が因数に現れるのは，
　　9999999999999999999999
だからである．
　　9999999999999999999999 = 3×3×11×11×23×4093×8779×21649×513239

3桁の循環になるのは
　999=3×3×3×37
より37で割ったとき．

4桁の循環になるのは
　9999=3×3×11×101
より101で割ったとき．

と，このように，循環小数にはいろいろと突っ込みどころが多い．
ほかにも，
　1÷素数p
の循環節の長さが p-1 で p-1 が10の倍数なら，循環節の中に 0から9までの数字が同数ずつ含まれるという性質もある．
たとえば，素数61 で割った
　1÷61
は，
　　0.
　　01639 34426 22950 81967 21311 47540 98360 65573 77049 18032 78688 52459
　　01639 34426 22950 81967 21311 47540 98360 65573 77049 18032 78688 52459
　　………
と，循環節が60桁で10の倍数だから，循環節の中に0から9までの数字が6個ずつある．