排他的論理和

歯痛的論理は？
じゃなくて．

論理和 OR（または） は
false OR false = false
true OR false = true
false OR true = true
true OR true = true

true とか false では字数が多いので，
true = 1，false = 0
などと記号化する．

0 OR 0 = 0
1 OR 0 = 1
0 OR 1 = 1
1 OR 1 = 1

さらに，OR には ∨ といった記号がある．
0 ∨ 0 = 0
1 ∨ 0 = 1
0 ∨ 1 = 1
1 ∨ 1 = 1

ブール代数は「 ＋ 」記号を使う．
0 ＋ 0 = 0
1 ＋ 0 = 1
0 ＋ 1 = 1
1 ＋ 1 = 1
最後の 1+1 だけが普通の算術和と論理和との違いではある．

論理積(且つ　AND　∧　・)はすべて算術と同じになる．
0 ・ 0 = 0
1 ・ 0 = 0
0 ・ 1 = 0
1 ・ 1 = 1

さて，排他的論理和 Exclusive Or（XOR）は
0 XOR 0 = 0
1 XOR 0 = 1
0 XOR 1 = 1
1 XOR 1 = 0
となるもの．
（A∨B）∧￢（A∧B）＝ A XOR B
と定義されている．（￢　は否定）

複雑だが，日常語の「または」に近い気がする．

たとえば，人を呼び出すとき，
「Aくん，または，Bさんが来てください」
と連絡したら，1人だけが行けばいいのであって，二人そろっていくことはあまりないのではないか．
つまりこの場合の「または」は排他的論理和に近いものである．
本来の論理和「または」の場合，「少なくとも一方」なので，二人そろって行くことも考えていい．

英語でも，
「Freeze! or you'll die」（動くな，さもないと死ぬぞ）
直訳すれば，
「とまれ！　または，死ぬだろう」
だが，もしこの「OR」が論理和なら両方起きてもよいので，止まって殺されても文句はいえない．
やはり，この OR も　 Exclusive Or　なのだろうと思う．
もちろん，銃を持つような人間にとっては，「両方あり」（つまり排他的でないただの論理和OR）だろうが．

排他的論理和を「情報」の時間に説明するときに，そんな話をする．

さて，XOR がコンピュータで重要なのは，1ビットの算術和になっているからではある．
ただの論理和では
　１＋１＝１
で算術和ではない．1の位は（繰上りして）０に戻らねばならぬからである．
　１ xor １＝０
その意味で，xor は1ビットの加算であるといえる．