円周率と無限の感覚

以前，書いた記事で，
＞円周率の計算記録が伸びるニュースが伝わると，「いつか終わるのだろうか」という素朴な疑問を持つ人もいるようだ．
と書いたが，
　　1÷3
に対して，「いつか終わるのだろうか」などと考える人はいない．
つまり，
　　1÷3 = 0.333・・・
は数字の並びを見ただけで，無限の感覚を持つことができる．
感覚的に無限が知覚できるのは，循環小数のほか
　　1,2,3,・・・
といった数の羅列とか，
　　「0以上1以下の実数は無限にある」
とか，いろいろあるだろう．
この「無限」の感覚が持てる・持てないの違いは何だろうか．

循環小数は
　　1÷7 = 0.142857 142857 ・・・
くらいでも，無限に繰り返しそうな感覚だが，
　　1÷61 = 0.016393442・・・
は循環節の長さが60桁もあるから，循環しないような気持ちになるかもしれない．
循環の長さが長いとき，「本当に循環するかな」という気持ちになるのは，その循環全体を瞬時に見渡せないからだろう．300桁くらい並べれば60桁の循環が納得できるだろうが．つまり，見渡せ得る循環小数には，無限を知覚させる力があるのだろう．

「有理数の無限小数は必ず循環する」というのは，論理の力でも，比較的簡単に納得できる．
＞以前の記事

しかし，円周率が，「無限に循環することのない小数」であることは，感覚ではなく「論理の力」でしかわからないという点で，難しいかもしれない．
循環するなら，「無限にある」と思えるが，循環しない無限だと無限を知覚することができず，「もしかして・・・？」という気持ちになるのだろう．

もちろん，「無理数は無限小数」という論理に基づいた感覚があれば，円周率が無限小数であることは「感覚」である．

まず，
　　「有限小数ならば有理数である．」
これは感覚的にも明らかだろう．
　　0.1234 = 1234/10000
となるからである．
この命題の対偶は
　　「有理数でないなら，有限小数でない．」
ここは論理の力である．
　　「PならばQである」
が真ならば，その対偶
　　「Qでないならば，Pでない」
も真となる．

　　「有理数でないなら，有限小数でない．」
において，有理数でない実数は無理数といい，有限小数でない実数を無限小数というから，
　　「無理数ならば，無限小数である．」
といえる．
つまり円周率が無理数であることが言えれば，自動的に無限小数となる．

円周率が無理数であることは，結構面倒で，数IIIの微積分の知識の上に，「背理法」という論理の力が必要．

背理法は，数学Aの「√2 が無理数である」の証明に出てくる．これは有理数であると仮定したら矛盾が出ることにより，無理数であることを結論する．
論理記号で書けば，
「p→q」の否定は
　　「￢(p→q)」⇔「￢(￢p or q)」⇔「￢￢p ＆ ￢q」⇔「p ＆ ￢q」
より，「xが√2ならば，xは無理数」の否定は「xが√2　かつ　xは有理数」となる．

円周率のときも同様に，円周率が有理数と仮定して，微積分の計算で矛盾を証明する．
＞以前の記事

このように，無理数は循環しない無限小数なのであるが，それは数字の並びだけど見ただけでは確信することはできず，論理の力を信じるしかないのだ．

ちなみに「論理」とは，人間の言語の中に自然にあるもので，それによって会話なり，人間社会なり，科学が成り立っているものである．どこか遠いところにあるものではない．