長方形の作図

長方形ABCDが与えられている．
これに対しACを対角線の1本として持ち，もう1本の対角線をADに垂直な直線m上に持つような長方形を作図する問題．

簡単なのは，ACとBDの交点をPとし，PからADに垂線mを引く．
中心P，半径PAの円を描き，直線mと円との交点をE，FなどとすればAECFは目的の長方形である．
なぜなら，ACを直径とする円Pにおいて，角AECも角AFCも直径の円周角だからである．


EをBCの側，FをADの側の点とすれば，実はこの長方形AECFの辺AEは角CABを2等分する．
（証明）
BEDFは，長方形AECFと直線mに関して対称なので，合同な長方形である．
つまり，弧ECと弧BEは長さが等しい．
したがって，弧ECの円周角CAEと弧BEの円周角BAEは等しいから，AEは角CABを2等分する．

ということで，ADの垂線と，角CABの2等分線との交点をE，角AEDの2等分線との交点をFとしても，目的の長方形はできる．