別解

先日の計算＞今日の積分

コメントで違うやり方を教えてもらったので，再計算．

先日のやり方は，最近，円周率の数値計算を書き直した関係で「頭が tangent」になっていたのが影響した．

$\int_1^3\sqrt{\frac{4}{x}-1}\,dx$

$=\int_1^3\sqrt{\frac{4-x}{x}}\,dx=\int_1^3\frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}}\,dx$

コメントでは，$\sqrt{x}=t$, $\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx=dt$ と置換して，

$=\int_1^3\sqrt{\frac{4-x}{x}}\,dx=2\int_1^\sqrt{3}\sqrt{4-t^2}\,dt$ 

と，教科書の練習問題にあるような積分となる．

教科書ではこの積分は，$t=2\sin\theta$ と置換するので，はじめから$\sqrt{x}=2\sin\theta$ と置換してしまう．

両辺２乗して

$x=4\sin^2\theta$, 

$dx=4\cdot 2\sin\theta\cos\theta\,d\theta$, 

$dx=8\sin\theta\cos\theta\,d\theta$

$\sqrt{\frac{4}{x}-1}=\sqrt{\frac{4-x}{x}}=\frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}}$

$=\frac{\sqrt{4-4\sin^2\theta}}{2\sin\theta}=\frac{2\sqrt{1-\sin^2\theta}}{2\sin\theta}=\frac{\sqrt{1-\sin^2\theta}}{\sin\theta}=\frac{\sqrt{\cos^2\theta}}{\sin\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

積分区間は

$x=1$のとき $\sqrt{1}=2\sin\frac{\pi}{6}$, $\theta=\frac{\pi}{6}$.

$x=3$のとき $\sqrt{3}=2\sin\frac{\pi}{3}$,  $\theta=\frac{\pi}{3}$.

 

$\int_1^3\sqrt{\frac{4}{x}-1}\,dx$

上記の置換により

$=\int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}\frac{\cos\theta}{\sin\theta}8\sin\theta\cos\theta\,d\theta$

$=8\int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}\cos^2\theta\,d\theta$

倍角公式$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ より $\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}$

$=8\int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta$

$=4\int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}(1+\cos 2\theta)\,d\theta$

$=4[\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta]_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}$

$=4(\frac{\pi}{3}+\frac{1}{2}\sin 2\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}\sin 2\cdot\frac{\pi}{6})$

$=4(\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}\sin \frac{2\pi}{3}-\frac{1}{2}\sin \frac{\pi}{3})$

$=4(\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2})$

$=4(\frac{\pi}{6})=\frac{2\pi}{3}$

原始関数$4(\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta)=4\theta+2\sin 2\theta$ は

$\sqrt{x}=2\sin\theta$ より，$\frac{\sqrt{x}}{2}=\sin\theta$, $\theta=\arcsin\frac{\sqrt{x}}{2}$

$2\sin 2\theta=2\cdot2\sin\theta\cos\theta=2\cdot2\sin\theta\sqrt{1-\sin^2\theta}$

$=2\sqrt{x}\sqrt{1-\frac{x}{4}}=2\sqrt{x}\frac{\sqrt{4-x}}{2}=\sqrt{x}\sqrt{4-x}$

なので，

$4(\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta)=4\theta+2\sin 2\theta=\arcsin\frac{\sqrt{x}}{2}+\sqrt{x}\sqrt{4-x}$

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