今日の積分

久しぶりにｗ

見かけたのでやってみたら，すぐできたので忘れぬように残すｗ

$\int_1^3\sqrt{\frac{4}{x}-1}\,dx$

$\sqrt{\frac{4}{x}-1}=\tan\theta$ と置換.

両辺２乗して

$\frac{4}{x}-1=\tan^2\theta$, 

$\frac{4}{x}=\tan^2\theta +1=\frac{1}{\cos^2\theta}$, 

(数学I　$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$の両辺を$\cos^2\theta$で割る．)

逆数にして，

$\frac{x}{4}=\cos^2\theta$, 

$x=4\cos^2\theta$, 

両辺を微分して

$dx=4\cdot2\cos\theta(\cos\theta)'\, d\theta=8\cos\theta(-\sin\theta)\, d\theta$

$=-8\cos\theta\sin\theta\, d\theta$.

積分区間は

$x=1$のとき $\sqrt{\frac{4}{1}-1}=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}$, $\theta=\frac{\pi}{3}$.

$x=3$のとき $\sqrt{\frac{4}{3}-1}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan\frac{\pi}{6}$,  $\theta=\frac{\pi}{6}$.

 

$\int_1^3\sqrt{\frac{4}{x}-1}\,dx$

上記の置換により

$=\int_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{6}\tan\theta(-8\cos\theta\sin\theta)\, d\theta$

$\tan =\frac{\sin}{\cos}$ より

$=\int_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{6}\frac{\sin\theta}{\cos\theta}(-8\cos\theta\sin\theta)\, d\theta$

$=-8\int_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{6}\sin^2\theta\, d\theta$

積分区間を逆に
$=8\int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}\sin^2\theta\, d\theta$

倍角公式 $\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$ より $\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}$

$=8\int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}\frac{1-\cos 2\theta}{2}\, d\theta$
$=4\int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}(1-\cos 2\theta)\, d\theta$
$=4[\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta]_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3}$

$=4(\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\sin 2\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}\sin 2\cdot\frac{\pi}{6})$

$=4(\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}\sin \frac{2\pi}{3}+\frac{1}{2}\sin \frac{\pi}{3})$

$=4(\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2})$

$=4(\frac{\pi}{6})=\frac{2\pi}{3}$

> 答え合わせ

ついでに原始関数 $-4(\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta)=-4\theta+2\sin 2\theta$ は

$\sqrt{\frac{4}{x}-1}=\tan\theta$ より，

$-4\theta=-4\arctan\sqrt{\frac{4}{x}-1}$

と

$2\sin 2\theta$

$=2\cdot 2\sin\theta\cos\theta$

$=4\sin\theta\cos\theta\frac{\cos\theta}{\cos\theta}$

$=4\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cos^2\theta$

$=4\tan\theta\frac{1}{(\frac{1}{\cos^2\theta})}$

$=4\tan\theta\frac{1}{1+\tan^2\theta}$

$=\frac{4\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$

$\tan\theta=\sqrt{\frac{4}{x}-1}$, $\tan^2\theta=\frac{4}{x}-1$

$=\frac{4\sqrt{\frac{4}{x}-1}}{1+\frac{4}{x}-1}$

$=\frac{4\sqrt{\frac{4}{x}-1}}{\frac{4}{x}}$

$=\frac{1\sqrt{\frac{4}{x}-1}}{\frac{1}{x}}$

$=x\sqrt{\frac{4}{x}-1}$

より，

原始関数 $-4\theta+2\sin 2\theta$

$=-4\arctan\sqrt{\frac{4}{x}-1}+x\sqrt{\frac{4}{x}-1}+$定数

> 答え合わせ

2/22　追記＞別解