還元可能な3次方程式

無酸素計算の2

さっきの例はルートがあるから還元できたのかな。

それじゃルートがが出てこない $x^3+4x^2+x-6=0$

$1+4+1-6=0$ より，$x=1$ はすぐわかり，

$(x-1)(x^2+5x+6)=0$ より，$x=-2$,　$-3$ とわかる。

これなら3乗根が還元不可能かなと思いきや，還元可能だった。

$x=y-\frac{4}{3}$

$(y-\frac{4}{3})^3+4(y-\frac{4}{3})^2+(y-\frac{4}{3})-6=0$

$y^3-\frac{13}{3}y-\frac{70}{27}=0$

$y=u+v$

$(u+v)^3-\frac{13}{3}(u+v)-\frac{70}{27}=0$

$u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-\frac{13}{3}(u+v)-\frac{70}{27}=0$

$u^3+v^3-\frac{70}{27}+(u+v)(3uv-\frac{13}{3})=0$

$u^3+v^3-\frac{70}{27}=0$ かつ $3uv-\frac{13}{3}=0$

$3uv-\frac{13}{3}=0$ より，$v=\frac{13}{9u}$ を $u^3+v^3-\frac{70}{27}=0$ に代入して

$u^3+(\frac{13}{9u})^3-\frac{70}{27}=0$

$u^3+(\frac{2197}{729u^3}-\frac{70}{27}=0$

$u^3$をかけて，

$(u^3)^2+\frac{2197}{729}-\frac{70}{27}u^3=0$

$(u^3)^2-\frac{70}{27}u^3+\frac{2197}{729}=0$

$u^3$の２次方程式を解いて，

$u^3=\frac{35}{27}\pm\sqrt{(\frac{35}{27})^2+\frac{2197}{729}}=\frac{35\pm\sqrt{972}i}{27}=\frac{35\pm18\sqrt{3}i}{27}$

$|u^3|^2=\frac{35^2+972}{729}=\frac{2197}{729}=(\frac{13}{3})^3$
より，$|u|^2=\frac{13}{3}$

$|\frac{-1-\sqrt{12}i}{3}|^2=\frac{1+12}{3}=\frac{13}{3}$ となり，

$(\frac{-1-2\sqrt{3}i}{3})^3=\frac{35+18\sqrt{3}i}{3}$ より還元可能で

$u^3=\frac{35+18\sqrt{3}i}{3}$ の解は

$u=\frac{-1-2\sqrt{3}i}{3}=u_1$,　$u_1\omega$,　$u_1\omega^2$

の3つとなる。（$\omega$ は1の虚数3乗根で$x^2+x+1$の根$\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$）

$v=\frac{13}{9u}$ より，$u=u_1=\frac{-1-2\sqrt{3}i}{3}$ のとき

$v=\frac{13}{9u_1}=\frac{13\cdot3}{9\cdot\frac{-1-2\sqrt{3}i}{3}}=\frac{-1+\sqrt{12}i}{3}=v_1$

$u=u_1\omega$ のとき，

$v=\frac{13}{9u_1\omega}=\frac{v_1}{\omega}=\frac{v_1\omega^2}{\omega^3}=v_1\omega$

$u=u_1\omega^2$ のとき，

$v=\frac{13}{9u_1\omega^2}=\frac{v_1}{\omega^2}=\frac{v_1\omega}{\omega^3}=v_1\omega$

$y=u+v$ より，

$y_1=u_1+v_1=\frac{-1-2\sqrt{3}i}{3}+\frac{-1+2\sqrt{3}i}{3}=\frac{-2}{3}$

$y_2=u_1\omega+v_1\omega^2=\frac{-1-2\sqrt{3}i}{3}\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+\frac{-1+2\sqrt{3}i}{3}\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=\frac{-2}{3}=\frac{7}{3}$

$y_3=u_1\omega^2+v_1\omega=\frac{-1-2\sqrt{3}i}{3}\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}+\frac{-1+2\sqrt{3}i}{3}\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=\frac{-2}{3}=\frac{-5}{3}$

$x=y-\frac{4}{3}$より

$x_1=y_1-\frac{4}{3}=\frac{-2}{3}-\frac{4}{3}=-2$

$x_2=y_2-\frac{4}{3}=\frac{7}{3}-\frac{4}{3}=1$

$x_3=y_3-\frac{4}{3}=\frac{-5}{3}-\frac{4}{3}=-3$

つづく