3実根

因数定理の授業は3実根を求めるものであったが，微分の授業では増減表（グラフ）から実数解の個数を求める問題があった。

$x^3-6x^2+9x-3=0$ の実数解の個数。

$f(x)=x^3-6x^2+9x-3$ とおいて，

$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$

より， $f'(1)=f'(3)=0$ の前後で $f'(x)$ は符号が変わり，

$f(0)=-3<0$から増加して,　$f(1)=1>0$,　

減少して $f(3)=-3<0$,　

増加して $f(4)=1>0$ だから －＋－＋ となり，

増減表から$x$軸を3回横切るから実数解は3つある。

ってことで，$x^3-6x^2+9x-3=0$ の3実根をカルダノの方法で求めてみる。

さすがにこれなら不還元だろうｗ

無酸素計算3つめ(w

$x=y+2$ とすると，

$(y+2)^3-6(y+2)^2+9(y+2)-3=0$ 

$y^3-3y-1=0$

$y=u+v$ とすると，

$(u+v)^3-3(u+v)-1=0$

$u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-3(u+v)-1=0$

$u^3+v^3+3uv(u+v)-3(u+v)-1=0$

$u^3+v^3-1+(u+v)(3uv-3)=0$

より，$u^3+v^3-1=0$ かつ $3uv-3=0$

$3uv-3=0$ より $v=\frac{1}{u}$ を $u^3+v^3-1=0$ に代入して

$u^3+(\frac{1}{u})^3-1=0$ 

$u^3$倍して

$(u^3)^2+1-u^3=0$ 

$u^3$ の2次方程式 $(u^3)^2-u^3+1=0$ の解は

$u^3=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}$ でこれは不還元。

でも，

$u^3=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos\frac{\pi}{3}\pm\sin\frac{\pi}{3}=e^{\pm\frac{\pi}{3}}$ で1の6乗根である。

なので，$u^3=e^{\frac{\pi}{3}}$ とすれば，

$u=(e^{\frac{\pi}{3}})^{\frac{1}{3}}=e^{\frac{\pi}{9}}=(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{\frac{1}{3}}$ 

で，$u$ は1の18乗根である。

そして，これに1の3乗根をかけたものが，$u^3$ の3つの解である。

1の3乗根は $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0$ の解で $x=1$,　$\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=e^{\frac{2\pi}{3}}$, 　$\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos\frac{-2\pi}{3}+i\sin\frac{-2\pi}{3}=e^{\frac{-2\pi}{3}}$

であるから，

$u^3=e^{\frac{\pi}{3}}$ とすると，その3乗根は

$u=e^{\frac{\pi}{9}}$,　$e^{\frac{\pi}{9}}e^{\frac{2\pi}{3}}=e^{\frac{7\pi}{9}}$,　$e^{\frac{\pi}{9}}e^{\frac{-2\pi}{3}}=e^{\frac{-5\pi}{9}}$ の3つである。

このとき $v=\frac{1}{u}$ より，

$u=e^{\frac{\pi}{9}}$ のとき $v=\frac{1}{e^{\frac{\pi}{9}}}=e^{\frac{-\pi}{9}}$

$u=e^{\frac{7\pi}{9}}$ のとき $v=\frac{1}{e^{\frac{7\pi}{9}}}==e^{\frac{-7\pi}{9}}$

$u=e^{\frac{-5\pi}{9}}$ のとき $v=\frac{1}{e^{\frac{-5\pi}{9}}}=e^{\frac{5\pi}{9}}$

$y=u+v$ より

$y_1=e^{\frac{\pi}{9}}+e^{\frac{-\pi}{9}}=(\cos\frac{\pi}{9}+i\sin\frac{\pi}{9})+(\cos\frac{\pi}{9}-i\sin\frac{\pi}{9})=2\cos\frac{\pi}{9}$

$y_2=e^{\frac{7\pi}{9}}+e^{\frac{-7\pi}{9}}=(\cos\frac{7\pi}{9}+i\sin\frac{7\pi}{9})+(\cos\frac{7\pi}{9}-i\sin\frac{7\pi}{9})=2\cos\frac{7\pi}{9}$

$y_3=e^{\frac{-5\pi}{9}}+e^{\frac{5\pi}{9}}=(\cos\frac{-5\pi}{9}+i\sin\frac{-5\pi}{9})+(\cos\frac{-5\pi}{9}-i\sin\frac{-5\pi}{9})=2\cos\frac{-5\pi}{9}$

$x=y+2$ より，

$x_1=y_1+2=2\cos\frac{\pi}{9}+2=3.87939$ 

$x_2=y_2+2=2\cos\frac{7\pi}{9}+2=0.467911$ 

$x_3=y_3+2=2\cos\frac{-5\pi}{9}+2=1.6527$ 

$x_1=2\cos\frac{\pi}{9}+2$ を $x^3-6x^2+9x-3$ に代入したら 0 になった。

>google電卓で検算

初任の若者に見せたらびっくりしてたw

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