久しぶりにカルダノ

本日の無酸素計算。息を止めて一気に読んでくださいｗ

因数定理を使っての3次方程式 $x^3-4x^2+8=0$ を解く授業。

$2^3-4\cdot2^3+9=8-16+8=0$ より，$x-2$ を因数に持ち，

$(x-2)(x^2-2x-4)=0$

より，$x=2,$ $1\pm\sqrt{5}$ を得る。

カルダノを話をしたついでにカルダノの解法を見せた。

$x=y+\frac{4}{3}$ と変換すると，

$(y+\frac{4}{3})^3-4(y+\frac{4}{3})^2+8=0$

整理すると，

$y^3-\frac{16}{3}y+\frac{88}{27}=0$

$y=u+v$ と変換すると，

$(u+v)^3-\frac{16}{3}(u+v)-\frac{88}{27}=0$
$u^3+3uv(u+v)+v^3-\frac{16}{3}(u+v)+\frac{88}{27}=0$

$u^3+v^3+\frac{88}{27}+(u+v)(3uv-\frac{16}{3})=0$

$u^3+v^3+\frac{88}{27}=0$ かつ $3uv-\frac{16}{3}=0$

$3uv-\frac{16}{3}=0$ より，$v=\frac{16}{9u}$

これを $u^3+v^3+\frac{88}{27}=0$ に代入して，

$u^3+(\frac{16}{9u})^3+\frac{88}{27}=0$ 

$u^3+\frac{4096}{729u^3}+\frac{88}{27}=0$ 

$u^3$をかけて

$(u^3)^2+\frac{4096}{729}+\frac{88}{27}u^3=0$ 

$(u^3)^2+\frac{88}{27}u^3+\frac{4096}{729}=0$ 

$u^3$ の２次方程式を解いて，

$u^3=-\frac{44}{27}\pm\sqrt{(\frac{44}{27})^2-\frac{4096}{729}}=\frac{-44\pm12\sqrt{15}i}{27}$

$|u^3|^2=\frac{44^2+(12\sqrt{15})^2}{27}=\frac{1936+2160}{27}=\frac{4096}{27}=(\frac{16}{3})^3$ より

$|u|^2=\frac{16}{3}$ である。

$u=\frac{1-\sqrt{15}i}{3}$ ならば，$|u|^2=\frac{16}{3}$ であり，

$u^3=\frac{(1-\sqrt{15}i)^3}{3^3}=\frac{1-3\sqrt{15}i-3\cdot15+15\sqrt{15}i}{27}=\frac{-44+12\sqrt{15}i}{27}$ を満たす。

よって，

$u^3=\frac{-44+12\sqrt{15}i}{27}$

の解は

$u=u_1=\frac{1-\sqrt{15}i}{3}$,　$u_1\omega$,　$u_1\omega^2$ 

の3つである。還元可能であった。

ただし$\omega$ は１の虚数３乗根($x^2+x+1$の根)

$\omega=e^{\frac{2\pi}{3}i}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$, $\omega^2=\frac{1}{\omega}=e^{-\frac{2\pi}{3}i}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ である。

$v=\frac{16}{9u}$より，$u=u_1$ のとき，

$v=\frac{16}{9u_1}=\frac{16\cdot3}{9(1-\sqrt{15}i)}=\frac{1+\sqrt{15}i}{3}=v_1$

$u=u_1\omega$ のとき，

$v=\frac{16}{9u_1\omega}=\frac{v_1}{\omega}=\frac{v_1\omega^2}{\omega^3}=v_1\omega^2$

$u=u_1\omega^2$ のとき，

$v=\frac{16}{9u_1\omega^2}=\frac{v_1}{\omega^2}=\frac{v_1\omega}{\omega^3}=v_1\omega$

$y=u+v$ より

$y_1=u_1+v_1=\frac{1-\sqrt{15}i}{3}+\frac{1+\sqrt{15}i}{3}=\frac{2}{3}$

$y_2=u_1\omega+v_1\omega^2=\frac{1-\sqrt{15}i}{3}\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+\frac{1+\sqrt{15}i}{3}\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=\frac{1}{6}(-1+\sqrt{3}i+\sqrt{15}i+3\sqrt{5}-1-\sqrt{3}i-\sqrt{15}i+3\sqrt{5})=\frac{-1+3\sqrt{5}}{3}$

$y_3=u_1\omega^2+v_1\omega=\frac{1-\sqrt{15}i}{3}\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}+\frac{1+\sqrt{15}i}{3}\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=\frac{1}{6}(-1-\sqrt{3}i+\sqrt{15}i-3\sqrt{5}-1+\sqrt{3}i-\sqrt{15}i-3\sqrt{5})=\frac{-1-3\sqrt{5}}{3}$

$x=y+\frac{4}{3}$ より，

$x_1=y_1+\frac{4}{3}=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2$,

$x_2=y_2+\frac{4}{3}=\frac{-1+3\sqrt{5}}{3}+\frac{4}{3}=1+\sqrt{5}$,

$x_3=y_3+\frac{4}{3}=\frac{-1-3\sqrt{5}}{3}+\frac{4}{3}=1-\sqrt{5}$

つづく