3倍角公式

$\cos\frac{\pi}{9}$ が求まった昨日の式
$y^3-3y-1=0$

これは cos の3倍角公式から出てくる式である。

$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$

$3\theta=\frac{\pi}{3}$ ならば，$\theta=\frac{\pi}{9}$ で，

$\cos\frac{\pi}{3}=4\cos^3\frac{\pi}{9}-3\cos\frac{\pi}{9}$

$\frac{1}{2}=4\cos^3\frac{\pi}{9}-3\cos\frac{\pi}{9}$

$\cos\frac{\pi}{9}=c$ とすれば，

$\frac{1}{2}=4c^3-3c$

$1=8c^3-6c$

$1=(2c)^3-3\times2c$

$2c=y$ とすれば，

$1=y^3-3y$

$y^3-3y-1=0$

あとは，昨日のように解いて，

$y=2\cos\frac{\pi}{9}$,　$2\cos\frac{5\pi}{9}$,　$2\cos\frac{7\pi}{9}$

解の一つは

$y=2\cos\frac{\pi}{9}=e^{\frac{\pi}{9}}+e^{\frac{-\pi}{9}}$ だったから，

$\cos\frac{\pi}{9}=\frac{1}{2}(e^{\frac{\pi}{9}}+e^{\frac{-\pi}{9}})=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{1-\sqrt{3}i}{2}})$

>google 電卓で $\cos\frac{\pi}{9}=0.93969262078$

>google 電卓で $\frac{1}{2}(\sqrt[3]{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{1-\sqrt{3}i}{2}})=0.93969262078$