数の正体をあばく

3.14 という数字を見たら
「円周率」
とわかる．

1.414
という数ならは，我々世代にとって，
「一夜一夜に・・・，だから√2」
とわかる．

これらは暗記しているから見抜けると言える．

暗記していない
「0.9672131」
や
「4.8989794」
は，わかるまいｗ

もちろん，
0.9672131＝9672131/100000000
4.8989794＝48989794/100000000＝24494897/50000000
ではあるが，気が利いていないｗ

こういう数の正体を簡単にあばくのに，古代（たぶん文明が発達する以前）から用いられているのが連分数である．

連分数（れんぶんすう、英: continued fraction）とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に正則連分数（英: regular continued fraction）ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。＞Wikipedia

連分数は，もともと最大公約数を突き止めるユークリッドの互除法であるともいえる．＞以前の記事

1173 と 1311
1311 - 1173 = 138
1173 - 138 × 8 = 69
138 - 69 × 2 = 0
より，最大公約数 69．

これを分数
1173 / 1311の約分
と考える．

素因数分解しようとして，共通因数 3 はすぐわかる．
ところが，23を見つけるのは，かなり大変だが，ユークリッドの互除法で 69 を見つけるのはたやすい（3回の割り算の余りから見つかる）．

ユークリッドの互除法は，
「真分数の逆数をとって，帯分数にする」
という手順と同値でもあり，これを全体としてみたとき，連分数となる．（帯分数とは2+(3/4) のような整数＋真分数で，真分数とは 3/4 のような分子＜分母である分数）

1173 / 1311 の逆数 1311 / 1173 = 1 + 138/1173
真分数 138/1173 の逆数 1173 / 138 = 8 + 69/138 = 8 + 1/2

最後に 69 で約分したが，それが最大公約数なので，69で元の分数が約分できるといえる．

この，「真分数の逆数をとって，帯分数にする」を一つの数式にしたものが，「連分数」なのである．

このワザはユークリッドの互除法と言われるが，もちろんユークリッドが発明したのではなく，古代からおこなわれていたワザをユークリッドが証明して書物にしたのが最初なのだろう．
こんなことは，古代の人にとっては常識的な計算方法で，円周率の近似分数（22/7 = 3.142857 や 355/113 = 3.1415929）などは連分数から求めたはずである．

1173 / 1311 を連分数にしてみる．

\(\frac{1173}{1311}=\frac{1}{\frac{1311}{1173}}=\frac{1}{1+\frac{138}{1173}}\\=\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{1173}{138}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{8+\frac{69}{138}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{8+\frac{1}{2}}}\)
元の式を 69 で割ってもよいが，最後の式からもとに戻すと，
\(\frac{1}{1+\frac{1}{8+\frac{1}{2}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{17}{2}}}=\frac{1}{1+\frac{2}{17}}=\frac{1}{\frac{19}{17}}=\frac{17}{19}\)
を得る．

これを[0; 1, 8, 2]と書く．


さて，
0.8947368
はどんな数だろう．もちろん有限小数だから，
8947368 / 10000000 =1118421 / 1250000
だけれども気が利いていないｗ

ここで連分数を用いる．（100円ショップの電卓での計算を想定）

0.8947368 の 逆数 1.1176471
小数部分の 0.1176471 の逆数 8.499997
小数部分の 0.499997 の逆数 2.000012
0.000012 は電卓が少数7桁で切り捨てた誤差なので，
\(0.8947368=\frac{1}{1.1176471}=\frac{1}{1+0.1176471}\\=\frac{1}{1+\frac{1}{8.499997}}=\frac{1}{1+\frac{1}{8+0.499997}}\\=\frac{1}{1+\frac{1}{8+\frac{1}{2.000012}}}\simeq \frac{1}{1+\frac{1}{8+\frac{1}{2}}}\)

ということで，0.8947368 は，これは先ほどの，17÷19 を電卓で計算した小数であった．

小数を分数に直すワザですぐ思いつく方法は２つ．
ひとつは，有限小数と考えて，気の利いていない
8947368 / 10000000 =1118421 / 1250000
とする方法．
もう一つは循環小数を分数に直す方法がある．
0.123123123・・・=123/999 = 41/333

しかし，17÷19 の循環節の長さは，18桁．
17/19 =0.894736842105263157 894736842105263157 894736842105263157・・・
0.8947368 が 18桁の循環の最初の8桁だったなどとは8ケタの電卓で見抜くのは不可能．
それを「小数部分の逆数を取る」という操作を3回行って連分数にするだけで元の分数が見抜けるというわけだ．
ちなみに，0.000012 を誤差と考えなければ，最終的に有限小数である気の利いていない 1118421 / 1250000 を得る．

「0.9672131」はどんな数か．
冒頭の小数である．

0.9672131 の 逆数 1.0338983
0.0338983 の 逆数 29.500004
0.500004 の 逆数 1.999984 はほぼ 2
と考えれば，
\(0.9672131=\frac{1}{1+0.0338983}\\=\frac{1}{1+\frac{1}{29+0.500004}}\\=\frac{1}{1+\frac{1}{29+\frac{1}{2}}}\)
[0; 1, 29, 2]

\(\frac{1}{1+\frac{1}{29+\frac{1}{2}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{59}{2}}}=\frac{1}{1+\frac{2}{59}}=\frac{1}{\frac{61}{59}}=\frac{59}{61}\)
つまり，「0.9672131」は 59 ÷ 61 を電卓で計算した数です．

÷61 が割り切れないときの循環節の長さは60桁．0.9672131 が60桁の循環小数のスタートである．


「4.8989794」はどんな数か．

0.8989794 の 逆数 1.1123725
0.1123725 の 逆数 8.8989743
0.8989743 の 逆数 1.1123788
0.1123788 の 逆数 8.8984755
0.8984755 の 逆数 1.1129964
0.1129964 の 逆数 8.8498394

あれれ，整数部は，1 と 8 が繰り返している．

[4; 1, 8, 1, 8, ...]
これを循環連分数という．平方根（とその加減乗除）は循環連分数となることが知られている．
つまり，これはある数の平方根を含む可能性がある．

たとえば，
1+√2 = 2+1/(2+1/(2+1/(2+...
[2; 2, 2, 2, ...]
であるので、
√2 = 1+1/(2+1/(2+1/(2+...
[1; 2, 2, 2, ...]
である．

もっとも単純な循環連分数
1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+...
[1; 1, 1, 1, ...]
は黄金比 (-1+√5)/2 となるのは，偶然ではあるまい．

\(4.8989794=4+0.8989794=4+\frac{1}{1+0.1123725}\\=4+\frac{1}{1+\frac{1}{8+0.8989743}}\\=4+\frac{1}{1+\frac{1}{8+\frac{1}{1+0.1123788}}}\\=4+\frac{1}{1+\frac{1}{8+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{8+\frac{1}{1+\cdots}}}}}}\)

であるから，p=4.8989794　とすれば，p+4=8.8989794　は
\(8.8989794=8+\frac{1}{1+\frac{1}{8+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{8+\frac{1}{1+\cdots}}}}}}\)

8.8989794 = x とすれば，
\(x=8+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\)
である．
\(x=8+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=8+\frac{1}{\frac{x+1}{x}}=8+\frac{x}{x+1}=\frac{8x+8+x}{x+1}\\=\frac{9x+8}{x+1}\)
分母を払って，
\(x(x+1)=9x+8\)
\(x^2-8x-8=0\)
これを解いて，
\(x=4\pm2\sqrt{6}\)

\(x=4\pm2\sqrt{6}\)

で，xはプラスだから， x=4+2√6

p+4=8.8989794 = 4+2√6
より，
4.8989794 =2√6

つまり，4.8989794　は電卓で√6 を計算して2倍した数とわかる．

このように，連分数「小数の正体をあばく」のに，便利な手法といえる．





さらに，無理数の非常に良い分数の近似値を与えるのも連分数である．
円周率 3.1415926

電卓で計算すると，次の通り．
\(3.1415926=3+\frac{1}{7+0.0625159}\\=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+0.99593}}\\=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+0.0040866}}}\\=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{244.7021974}}}}\)
1/244 は小さい数だから，誤差と考えると，
\(3.1415926=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+0}}}\\=3+\frac{1}{7+\frac{1}{16}}=3+\frac{1}{\frac{113}{16}}=3+\frac{16}{113}=\frac{355}{113}\)

1/15 以下が誤差と思えば，
3+1/7 = 22/7 =3.142857

実際の，円周率の連分数展開は
3, 7, 15, 1, 292, ・・・
つまり
3+1/(7+1/(15+1/(1+1/(292+・・・
[3; 7, 1, 15, 1, 292, ...]
やはり 244 は切り捨て誤差が大きかった．292 のようである．

円周率の連分数に規則性はないようだが，自然対数の底（ネイピア数）2.718281828459 という無理数の連分数は，もちろん循環はしないけれど、規則性はありそう．
2+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(6+1/(1+1/(1+1/(8+1/(1+1/(10+...
[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...]


練習問題　スーパーカブのギア比を簡単な整数比で表わせ．
(1) 1次減速比 4.058

(2) 2次減速比 2.428

(3) 変速比 1速 2.615

(4) 変速比 2速 1.555

(5) 変速比 3速 1.136

(6) 変速比 4速 0.916


こんな記事を書いたのは，スーパーカブのギア比を連分数で簡単な整数比にしてみたからであるｗ
4.058 ＝ 4058/1000 = 2029/500
だが，スーパーカブのような小さなギアボックスでギアの歯数が2029 などはありえない．
もっと小さな整数比であるはずで，それを連分数を使うとたちどころに見抜けるというわけだ．