粘土タブレット

バビロンの粘土板 (babylonian clay tablet) YBC 4663

＞Babylonian Mathematicsより画像を引用．

このタブレットに書かれた問題

縦横の辺の長さの和 \(6\frac{1}{2}\)，面積\(7\frac{1}{2}\) である長方形の縦横の長さを求めよ．

バビロンは60進法なので，
「縦横の和 6:30，面積 7:30」
のようにな書き方だろうか．

数学I の練習問題にも出てくる．数学Iの解き方なら，未知数を x とおいて方程式を立てて解くだけである．

縦を \(x\) とすれば，横は \(\frac{13}{2}-x\)
したがって，面積\(\frac{15}{2}\)より
\(x\left(\frac{13}{2}-x\right)=\frac{15}{2}\)
\(\frac{13}{2}x-x^2=\frac{15}{2}\)
両辺2倍して
\(13x-2x^2=15\)
\(2x^2-13x+15=0\)
\((2x-3)(x-5)=0\)
\(x-5=0\)
\(x=\frac{3}{2},\quad{5}\)

数学II の解と係数との関係は，和と積から直接2次方程式が立てられる．（和と積から元の数を求めるのは4000年前の問題なのだ．）

和が \(\frac{13}{2}\)，積が \(\frac{15}{2}\)より，
\(x^2-\frac{13}{2}x+\frac{15}{2}=0\)
両辺2倍して
\(2x^2-13x+15=0\)
\((2x-3)(x-5)=0\)
\(2x-3=0\)，\(x-5=0\)
元の2数は
\(\frac{3}{2}\)，\(5\)

\(\beta\)を解に持つ2次方程式は
\((x-\alpha)(x-\beta)=0\)
である．展開して
\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)
つまり．x^2-(和)x+(積)=0 を解けばよいということである．


さて，こんな文字変形のできなかった4000年前，粘土板に書かれた解き方は次の通り．（表記は現代風）

縦横の和が \(\frac{13}{2}\) である正方形の1辺は \(\frac{13}{4}\) であるから，その面積は \(\frac{169}{16}\) である．
これは長方形の面積 \(\frac{15}{2}=\frac{120}{16}\) より，\(\frac{49}{16}=\left(\frac{7}{4}\right)^2\) だけ大きい．
したがって，もとの長方形の各辺は，正方形の縦横に \(\frac{7}{4}\) を
足したもの\(\frac{13}{4}+\frac{7}{4}=\frac{20}{4}=5\)
と引いたもの \(\frac{13}{4}-\frac{7}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)
である．

「正方形の縦\(x\)横\(x\)に，それぞれ同じ数\(a\)を足した辺\(x+a\)と引いた辺\(x-a\)をもつ長方形の面積\((x+a)(x-a)\)は，元の正方形の面積\(x^2\)より，その数\(a\)を辺とする正方形の面積\(a^2\)を引いたものである．」
というのは，4000年前の常識だったのだろう．
つまり文字式で書けば， \((x+a)(x-a)=x^2-a^2\)

当時は文字式がないので，すべて言葉で表現していた．というか本当にそんな言い回しだったのかどうかは知らぬが， \((x+a)(x-a)=x^2-a^2\) を，正方形，長方形，辺，面積という言葉で書こうと思ったら，上記のようになるだろうという，自分の勝手な憶測．

たとえば，方程式\(2x^2-13x+15=0\)は，負の数が使えぬので\(13x-2x^2=15\)と考え，
「正方形の辺の13倍から．面積の2倍を引いたら15である．辺を求めよ．」
となる．
「辺」と「面積」は次元が違うから，同じ式に入れて計算するのは無意味な気がするが，4000年前に x と x^2 をともに「数の計算」と抽象化していたのだ．

さらにもっと大昔では「周の長さ」を土地の広さとして，まちがえていたようで，そうなると同じ面積でも細長いほうが大きい値なる．
「正方形の縦横に，それぞれ同じ数を足した辺と引いた辺をもつ長方形の面積は，元の正方形の面積より，その数を辺とする正方形の面積を引いたものである．」
と気づいて，文明が栄えるころには
「周の長さを，広さにできないよ．」
ということになったのだろう．

現代なら，「解の公式」があって，常に同じやり方で値が求まる．
当時は，代入できる解の公式は作れなかったけれど，この解法の数値を変えて，同じやり方をすれば必ず答えが求まるという点で，この粘土板は「解の公式」を書いたものと言える．
2次方程式の解の公式は4000年前にはすでに知られていたと言ってよい．

そもそも現代風の数式の書き方を確立したのが，16世紀のビエトである．＞フランソワ・ビエト - Wikipedia
それ以前の数式は，言葉で書かれていたようである．

さて，この粘土板YBC 4663 のどの部分に，この問題とその解法が書かれているのかを知りたいものだ．
だれか教えて．