粘土タブレット

バビロンの粘土板 (babylonian clay tablet) YBC 4663

＞Babylonian Mathematicsより画像を引用．

このタブレットに書かれた問題

縦横の辺の長さの和 $6\frac{1}{2}$，面積$7\frac{1}{2}$ である長方形の縦横の長さを求めよ．

バビロンは60進法なので，
「縦横の和 6:30，面積 7:30」
のようにな書き方だろうか．

数学I の練習問題にも出てくる．数学Iの解き方なら，未知数を x とおいて方程式を立てて解くだけである．

縦を $x$ とすれば，横は $\frac{13}{2}-x$
したがって，面積$\frac{15}{2}$より
$x\left(\frac{13}{2}-x\right)=\frac{15}{2}$
$\frac{13}{2}x-x^2=\frac{15}{2}$
両辺2倍して
$13x-2x^2=15$
$2x^2-13x+15=0$
$(2x-3)(x-5)=0$
$x-5=0$
$x=\frac{3}{2},\quad{5}$

数学II の解と係数との関係は，和と積から直接2次方程式が立てられる．（和と積から元の数を求めるのは4000年前の問題なのだ．）

和が $\frac{13}{2}$，積が $\frac{15}{2}$より，
$x^2-\frac{13}{2}x+\frac{15}{2}=0$
両辺2倍して
$2x^2-13x+15=0$
$(2x-3)(x-5)=0$
$2x-3=0$，$x-5=0$
元の2数は
$\frac{3}{2}$，$5$

$\beta$を解に持つ2次方程式は
$(x-\alpha)(x-\beta)=0$
である．展開して
$x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0$
つまり．x^2-(和)x+(積)=0 を解けばよいということである．


さて，こんな文字変形のできなかった4000年前，粘土板に書かれた解き方は次の通り．（表記は現代風）

縦横の和が $\frac{13}{2}$ である正方形の1辺は $\frac{13}{4}$ であるから，その面積は $\frac{169}{16}$ である．
これは長方形の面積 $\frac{15}{2}=\frac{120}{16}$ より，$\frac{49}{16}=\left(\frac{7}{4}\right)^2$ だけ大きい．
したがって，もとの長方形の各辺は，正方形の縦横に $\frac{7}{4}$ を
足したもの$\frac{13}{4}+\frac{7}{4}=\frac{20}{4}=5$
と引いたもの $\frac{13}{4}-\frac{7}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
である．

「正方形の縦$x$横$x$に，それぞれ同じ数$a$を足した辺$x+a$と引いた辺$x-a$をもつ長方形の面積$(x+a)(x-a)$は，元の正方形の面積$x^2$より，その数$a$を辺とする正方形の面積$a^2$を引いたものである．」
というのは，4000年前の常識だったのだろう．
つまり文字式で書けば， $(x+a)(x-a)=x^2-a^2$

当時は文字式がないので，すべて言葉で表現していた．というか本当にそんな言い回しだったのかどうかは知らぬが， $(x+a)(x-a)=x^2-a^2$ を，正方形，長方形，辺，面積という言葉で書こうと思ったら，上記のようになるだろうという，自分の勝手な憶測．

たとえば，方程式$2x^2-13x+15=0$は，負の数が使えぬので$13x-2x^2=15$と考え，
「正方形の辺の13倍から．面積の2倍を引いたら15である．辺を求めよ．」
となる．
「辺」と「面積」は次元が違うから，同じ式に入れて計算するのは無意味な気がするが，4000年前に x と x^2 をともに「数の計算」と抽象化していたのだ．

さらにもっと大昔では「周の長さ」を土地の広さとして，まちがえていたようで，そうなると同じ面積でも細長いほうが大きい値なる．
「正方形の縦横に，それぞれ同じ数を足した辺と引いた辺をもつ長方形の面積は，元の正方形の面積より，その数を辺とする正方形の面積を引いたものである．」
と気づいて，文明が栄えるころには
「周の長さを，広さにできないよ．」
ということになったのだろう．

現代なら，「解の公式」があって，常に同じやり方で値が求まる．
当時は，代入できる解の公式は作れなかったけれど，この解法の数値を変えて，同じやり方をすれば必ず答えが求まるという点で，この粘土板は「解の公式」を書いたものと言える．
2次方程式の解の公式は4000年前にはすでに知られていたと言ってよい．

そもそも現代風の数式の書き方を確立したのが，16世紀のビエトである．＞フランソワ・ビエト - Wikipedia
それ以前の数式は，言葉で書かれていたようである．

さて，この粘土板YBC 4663 のどの部分に，この問題とその解法が書かれているのかを知りたいものだ．
だれか教えて．