意外と錆びてない

数学の学力である．

生徒が入試問題（過去問）を解いてくれという．
「え～？，今年は数学教えてないし，うちは進学校じゃないからそんな問題3年以上見てない．時間かかるかもよ．ちょっと見せて」
150分で4問．どっかの国立大の問題だろう．

150分で4問なら，今の自分の錆び付き具合なら300分かかるかも知れない．というのは，公式などが正しいかどうかを自分で導きならが解くしかない．公式を覚えている受験生ではないのだ．

とりあえず，黒板に書き始める．


１．正の数 a, b, p に対し，
　　A=(a+b)^p　と　B=2^{p-1}(a^p+b^p)
の大小を調べよ．
う～ん．log　で書いたら指数が片付くけどどうかな・・・全然だめだぁ
a,b は対称だから相加平均・相乗平均の大小の形へ持っていったら，いきなり完成．
p と 1 との大小によって，大小が変わる．
「おぉ！できてしまった．」

２．斜辺の長さが1である正n角錐で，
(1)最大の体積．
(2)n→∞のとき，体積の極限．

底面の外接円の半径をr，角錐の高さを h とすれば，三平方の定理で hはrの式になる．
底面積はn個の三角形の和だし，高さhはrの式になるから体積はrの関数となった．
あとは，微分して極大を求め，最大を求めておわり．底面積にsinが混じるので，体積もsinが混じった式になる．
(2)n→∞の極限は，変数を工夫して，(sinθ)/θに持ち込む簡単なパターン．

３．3辺の長さ1,1,aの周上の2点を結ぶ線分で面積を2等分する．
その線分の長さの最小値．

長さ1の辺をそれぞれ\vec{a}，\vec{b}として，線分の両端の点をs\vec{a}，t\vec{b}などとして，面積を計算し全体の半分になることを計算しておわり．
まぁ周上の点が辺a上にある場合など，細かいところはつめなければならないが．
ここで「会議が始まるので参集してください」の放送が入り時間切れ．

ということで30分くらいで3問も解いてしまった．
「おれって，あたまいいー．意外と錆びてないな．」
と自画自賛．
4問目は，式が複雑で見る気がしない．過去問ならどっかに解答例があるだろう．