0.999…＝1

0.999…＝1 である．これは「定義（きまり）」である．
同じものに対して，2つの表記を用意しただけ．慣れていないと気持ちが悪いが．

0.999…＝1 と定義する理由は
0.999…＝0.9+0.09+0.009+…
0.9+0.09+0.009+…は初項0.9 公比0.1 の等比数列となり，その極限は 1 だから．
そこで 0.999…＝1 と定義した．

0.999…＝1 は「見た目が気持ち悪い」「感覚的に変な感じ」がするだけ．
0.999…＝1 に合理的な不都合を指摘してくれたら，0.999…＜1 とでもなるだろう．

0.999…＜1 ならば数の性質（稠密）から
　0.999…＜a＜1
となる a が存在するはず．それを示せない以上 0.999…＝1 とするしかない．

稠密とは p＜q ならば，p＜r＜q となる数rが存在することをいう．
たいてい， p＜q ならば r＝(p+q)/2 の存在を言えばOK.
ということは，
　a＝(0.999…+1)/2
を計算してみればいい．
　0.999…+1＝1.999…
　1.999…/2＝0.999…
あれれ，a＝0.999… となってしまった．つまり0.999…と1の間に数はない．

あるいは，
　1/3＝0.333…
　(1/3)×3＝0.333…×3
　1＝0.999…
で不都合は起きない．

さて，無限の数字を表す「…」に「÷２」とか「×３」が可能かという問題があるが，結論から言うと可能．

「…」を「極限」で定義してしまえばよいのだ．
＞0.111…×3=0.333…　の証明

一方，0.999…＜1 なら上に書いたすべてのことにぼろぼろ不都合が起きる．

0.999…＝1 と定義してなんら不都合が起きない．
「不都合が起きない以上，今のところ 0.999…＝1 と定義しよう」
というのが数学，ひいては自然科学の「態度」である．
0.999…＝1 はそれで不都合が起きないだけの「仮説」である．

数学や自然科学は合理的な仮説の集合体で，真実はない．
「いまのところ，0.999…＝1 で不都合がないから，そう決めとこう」
くらいな気持ちである．
数学や自然科学の専門家は，誰も数学や科学が真実だとは思っていないし，真実を追究している人は一人もいない．追究するのはより合理的な「仮説」．
「0.999…＝1 で不合理がおきたらそのときに考えるね．」

真実とは「愛は地球を救う」とか「生命は大切」とかたくさんあって，人生とはそういうものを追い求めるもの．
そして，哲学や宗教はそれを体系化したり，実行するもの．そのときに自然科学の合理的な仮説を用いてみんなで幸せになろうよ，というのが自然科学の位置づけなんだな．

断言する．
数学には真実はない．科学に真実はない．
数学や科学で真実を追求するのは無駄なこと．

という文章，以前も書いた．＞「0で割る」に見る科学的態度