０の０乗

0^0は 0 でも 1 でもない，定義自体ができない．

0^0=1 のまちがった根拠例
「2^0=1, 1^0=1 だから 0^0=1」
0^0=0 のまちがった根拠例
「0^2=0, 0^1=0 だから 0^0=0」

「1乗，2乗，3乗，…」はすべての数に対して定義されている．つまり累乗は単なる「掛け合わせる個数」を表している．
したがって，数であればなんでも掛け算はできるので，a　をかけ続けることで
a^1 → a^2 → a^3 → …
という具合に，累乗を作ることが出来る．
したがって 0^1=0, 0^2=0, … は正しい．
だからといって，0^0 も … というわけにはいかないのだ．
なぜなら，0は個数をあらわさない．数が個数を表すとき，0は「ない」という意味を持つ．無いものはかけられない．
したがって，0乗は別の定義をして拡張をする．

0や負の数の指数は，累乗の指数法則を負の数にも拡張したもの．
指数法則 a^m×a^n=a^(m+n)
が負の指数で成り立つには m=5, n=-3 なら
a^5×a^(-3)=a^2
になってほしい．つまり負の整数の指数を a^(-3)=1/a^3 と決めると都合よい．

つまり a^0 を a≠0 のとき a^1/a^1 と定義するわけである．
割り算が出てくる以上，負の指数は「0以外の数a」にしか適用できない．（0で割る計算は定義できないから）

「0^0=0^(1+(-1))=0^1×0^(-1)=0÷0 となり0^0 は不定」
と書いてある本もあるようだが，それも間違い．
そもそも指数法則
a^(m+n)=a^m×a^n
が a=0　について適用できるのは，m，n が1以上の整数（自然数，つまり個数）のときに限る．
0^(1+(-1))=0^1×0^(-1)
とか
0^1×0^(-1)=0÷0
という変形自体，定義されていないし，定義することは不可能．

さて，これら定義できない原因は，0÷0 定義できないから．
＞0で割る計算,0除算,割り算の意味
＞０で割れない理論的な理由


もうひとつ，間違った根拠
$\lim_{x\to0}x^x=1$

この極限は正しい．しかし，極限でx→0と書くときの前提は x≠0であって，x=0 のときを示す 0^0 の根拠とはいえない．

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