0で割る計算,0除算,割り算の意味

2005年4月1日追記．

「不定」，「不能」といのうは正しいとはいえない．正しくは「定義できない」だけでよい．
その辺の事情を書いた
０で割れない理論的な(ということは難しい)理由
これからは次のように説明するかな．

１．逆数とは積が１になる2数．（逆数の定義） ２．0倍したらなんでも０（定理）だから，０の逆数（０倍して１になる数）はない． ３．割り算は，逆数をかけること．（除算の定義） ４．５を０で割る計算は，５と，０の逆数の掛け算だが，存在しない数とは掛け算できない． ５．つまり０で割る計算は「できない」

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2004年12月19日追記．

実数の公理から，0の四則計算を証明．
０の四則計算（0の意味）

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2004年6月8日追記．

先週も1年生に０で割る計算を授業で話した．5分で納得してもらえる．

5÷0の答えはなんだと思う？ 「わからない」「0」「？」 じゃあさ，15÷3の答えは？ 「5」 そうだよね．どうして？ 「15個のものを3人で分ければ5個ずつだから」 え，いつもそうやって割り算してるの？ 「・・・」 15÷3の答え5を出すとき，何してる？ 「三五十五」 お！掛け算の九九だね．えらい，よく知ってる！　おれさぁ，いまだに7の段の後半が苦手でさ．しちろく四十八とか言っちゃう時がある． それはともかく， 15÷3の答えが5なのは，15＝3×5 だからなんだよね． じゃあ，5÷0 の答えを □ とするよ．すると 5＝0×□ じゃなきゃだめだよね． 0倍したらどうなる？ 「みんな0」 だよねー．0倍して5になるような数は？ 「全然ない」 そう，ＯＫ！ ，5÷0 の答えは『全然ない』んだよ． 次にさ，0÷0 の答えを □ とするよ．すると 0＝0×□ じゃなきゃだめだよね． □ は 0倍して0になる数が入るよ． それはどんな数？ 「なんでも」「全部」 正解！みんな良くわかるなぁ． 0で割ると『全然ない』か『全部』になっちゃうから，意味ないでしょ．だから数学では，そんな無意味なことは考えないことにしているんだ．

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2005年3月27日追記．

テレビ番組で，大々的に放送したらしい．
くろべえ: 脳内エステＩＱサプリ

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０で割る計算

2000年4月，1年生に0で割る計算をレポートで考察してもらい，それに対するコメントを配布したので，そのまま掲載．

はじめに

今回のレポートで皆さんの努力が良くわかりました．とても深く考えてくれた人，色々な実例を考えてくれた人等々．
何度も言いますが，数学は「考えること」「頭をつかうこと」であり，「問題を解くこと」では決してありません．
「問題を解くこと」は数学理解のための手段であり，それが数学の目的ではないのです．頭を使うことはそのまま数学することです．頭を使うことを嫌がったり，怖がったりしてはなりません．みんなは，テレビを見るときは頭を使わずに見ていると思います．数学の授業をテレビを見るように受けてはいけません．私のしゃべることを，自分の頭脳の中に展開して，数学的なイメージを作りながら授業を受けてください．イメージが作れないときは，わかってないということですから，「わかんない！」と叫んでください．ノートは補助的にとるだけであって，板書を写すことが目的となることの無いようにしましょう．（私は板書が下手なので写すのが趣味の人の期待にはそえません）ノートの整理は復習の時にするようにして，授業中は頭を使うことに専念しましょう．

数とは

まず，自然数は個数を数えるという，人間の最も簡単な数学的概念を表現したものといえます．皆の解答の中に，
「0は何も存在しないことである」
が，たくさん見受けられました．
割る数が 0 =「ない」 ので 「解はない」
人がたくさんいました．それを理由に「解がない」というならば
「5+0 はたす数がないから解はない」
ということになる．個数が一つもないことをや大きさがないことを 「0」 と表現しますが， それは，個数や大きさを表現する数として，数 0 が存在することになります．一つもないことを表現する 0 であるがゆえに，
「0」 は 「数が無いこと」
と混同しているようです．
「0」という表記がある以上「0は存在」します．
「0」が存在しなければひとつもないことを表すことができなくなります．
「5-5」の答えを表記する手段として0は存在します．
これは「点は存在しても，点の大きさがない」に近いものです．
例えば，方程式 x²+1=0 を考えてみましょう．移項すると x²=-1 となります．つまり，解は2乗すると -1 になる数です．そんな数は少なくとも，数直線上に出てくる数（実数） ではありません．この方程式をみたす解は実数の範囲には存在しません．存在しないからといって，x=0 ではないでしょう．
一方，方程式 2x-3=-3 の解は x=0 です．「0」 が求まったからといって， この方程式の解がないということにはならないでしょう．
個数が一つもないことや大きさがないことを表現する 「0」 と 「数が無いこと」を混同しないようにしましょう．
数は，もともと個数を数えることから始まりました．小さい子供もその様な数をはじめにおぼえます．数が，個数だけを表現するものならば， 「無いことが 0」 としてもさほど差し支えありません．しかし，数は個数以外にも色々なものを表現します．みんなが知っている数としては，実数（数直線で表される数）はかなり万能な数です．もし，数が個数しか表現しないとしたら．．．
次の問題を考えてみましょう．
問 自動車が5台あります．4人で等しく分けると 一人あたり何台になりますか?
5÷4=1.25 だから答え 1.25 台ですか? でも，そんな答えはナンセンスです．5台の車を4人で等分することなどできないからです．つまり，自動車が5台，人が4人というのは，個数つまり自然数だけの世界です．5÷4 の答えは自然数にはならないので，この問題は「解はない」，「5台の自動車を4人で等しく分けることはできない」と答えるしかありません．
つづいて，数が正の数しか表現しないとしたら．．．です．個数につづいて，次は「大きさ」です．大きさというのは正の数，正確には正の実数で表現されます．
問 長さ1m のひもがあります．このひもを 3m 使ったら 残りは何m ですか?
1-3=-2 なので -2m ですか? でも，そんな答えはナンセンスです．1m のひもから，3m 使うことなど出来ないからです．つまりひもの長さは「大きさ」なので正の数だけの世界です．これもやはり，「解はない」，「1m のひもから 3m は使えない」と答えるしかありません．
つまり，数というのは使う場面により，意味を持つ範囲が自ずから定まります．私が，0 で割る計算を出したときはとりあえず数はあらゆる数を考えてました．それを，個数だけに限定して考える頭の固い人が多かったことにびっくりしています．まあ，割り算の定義は小学校（せいぜい正の数）で教わったままの人が多いのでしかたがないことなのでしょう．
数が個数や大きさしか表さないのならば，小数や負の数はナンセンスです．でも，液体の量を測ったりするのに実数（ここでは特に小数）は有用ですし，空間の位置を表現するためには正の数だけでは無理があります．
もちろん，小数も負の数も「数える」ことから出発していて，だからこそ 1, 2, 3, ・・・ などの数字を使うわけですが，ここでそれらの作り方を確認します．
まず，小数．あるひもの長さを測るとします．単位はこの際なんでもいいですが，便宜的に 1m としましょう．1m づつ測りながら数えていって，ひもの長さが 4m と 5m の間にあることがわかりました．そうしたら，次に 1m を 10等分して 6つめと 7つめの間にひもの端がきました．6つめと 7つめの間をさらに 10等分したら，ちょうどひもの長さが3つめにきました．このときひもの長さを小数で 4.63m と表現するのです．（このように10等分するとき小数の 10進展開といいます，半分にして 0,1 だけを使えばコンピュータで使われる2進展開になります．）つまり小数も「数える」ことを基本にしていますが，小さく分けて数えるわけです．
ここで疑問になるのが，「無限に続くわけのわからない小数も数といえるか」となるわですが，これは「極限」の議論ですから，ここでは説明しません．
次に負の数．これは，数直線の作り方でもあります．直線上に点O をとり O と違う点 E をとり，線分OE の長さを 1 とします．そして，点O には数0，点E には数1 を対応させます．ある点A が O からみて E 側にあり，線分OA の長さが，4.63 のとき点A には数4.63 を対応させます．ある点B が O からみて E と反対側にあり，線分OB の長さが，2.3 のとき点B には数 -2.3 を対応させます．これが，負の数です．
つまり，「大きさ（長さ，量）」から「位置」の概念へのジャンプです．
位置を表現する数として，負の数は不可欠です．さらに，1年の2学期には実数よりさらに広い数の世界（複素数）を学習します．その数のありがたみは，高校の数学程度ではほとんどありませんが，電磁気学を表現する数として，なくてはならない数です．
数は個数を数えることから始まってますが，それだけでは表現できるものが少なすぎるため，負の数や，小数，その他色々な数に拡張されるのです．
「数は，個数や大きさを表現するものであり，また，それだけである．」
としか思えない人にとって，負の数の理解に到達することが難しくなります．

割り算とは

割り算とは何でしょう．「10個のものを5人で分けるとき」 10 ÷ 5 = 2 と答えることかな．
割り算はわけることである
という理由を書いた人が多かったのは，小学校で始めに習ったときは，「分けること」とならったからなのでしょう．「分けること」の計算に使うのは「応用」であって，「本質」ではありません．「応用」から入るのは，現実の問題を考えさせることによって，導入をやさしくするという「教育的配慮」です．その意味で，「関数」で考えたり「速さ」で考えてくれた人もいてそれはそれでよいことですが，結論的にはそれらは「割り算の応用」に過ぎません．
割り算の本質は「1あたりを求める」ことです．そして掛け算は「1あたりがいくつぶんあるか求める」ことです．したがって数学的には
割り算は掛け算の逆算
です．10÷5 = 2 の答えを出すときは掛け算の九九の表を思い出して， 5×2 = 10 を計算すると思います．つまり 10 = 5×2 だから 10÷5 = 2 なのです．
10 ＝ 5 × 2
10 ÷ 5 ＝ 2 この事を理解した上で，宿題の問題を考えてみると，自ずから答えが出ると思います．
また，5÷0 などを 5 × （1／0） のようにした人もいましたが，問題の本質は変わってません．（1／0）= 1÷0 だからです．「分数＝割り算＝比」であることを忘れないでください．（分数の割り算についてはこちら．）例えば，（5／8） = 5÷8 = 5 : 8 です．5÷0 を 5／0 と書き換えたところで，表記法が変わっただけで，問題の本質に変わりありません．

0÷5

「0を割る」

これは全員正解していました．電卓で計算しても 0 が出てきます．0÷5 = x とすると，0 = 5×x でなくてはなりません．このような x は 0 だけです．

5÷0

「0で割る」その1

「無限大」と答えた人がいました．つまり 5÷x で x が正の値をとりながら限りなく 0 に近づくとき答えが無限に大きくなるからでしょう．このようなものを数学では極限といい，これから習います．また，0 に近づくものを無限小といいます．（マイナス無限大とは違います）
実は，0 と無限小とは似て非なるものです．0 はあくまで 0 であり，無限小ではありません．数学では，無限小と 0 は厳格に区別して扱います．
無限小の振る舞いを論じる理論が解析学です．
無限小を無限小で割る計算が微分で，無限小を無限個集めるのが積分です．
無限小を掛けたり，無限小で割ったりしますが，0 を掛けたり， 0 で割ったりすることではありません．
この辺の話しはおもしろいのですが，これからのお楽しみです．
それから「最も大きい数と，最も小さい数」という答えがありました．最も大きい数 M が存在すると仮定すると， M＜M+1 満たす M より大きい数 M+1 が存在してしまう．無限大というのは「数」ではなく状態です．
さて，正解ですが，割り算は掛け算の逆算であることから，
5÷0 = a とすると 5 = 0×a
です．0 倍して 5 になる数はありえないので，このような計算は不能です．
a が無限大としても 0倍したら 0 になります．5 になりません．
「解はない」でも O.K. でしょう．
でも，5÷4 の解が自然数の範囲に解がないのとは本質的に違います．5÷4 の解は数の範囲を拡張すれば解を持たせることが出来ます．ところが，5=0a をみたす a は数の範囲をどんなに広げても解がありません．そんな意味を込めて「不能」と表現するのでしょう．
どっかで聞いたのか理由がなく「不能」とだけ答えた人もいました．
また「0 で割るから不能である」と意味不明の説明もありました．
「0 で割る計算はできないと聞いた」人もいました．
なぜ，0 で割ると不能なのかを答えてほしかったのですが．
数学は当てものではなく「考えること」です．

0÷0

「0で割る」その2

約分して 1 と答えた人がいました．約分とは何でしょう．
1÷1 = 1
0.1÷0.1 = 1
0.01÷0.01 = 1
0.001÷0.001 = 1
・・・・・・
なので 1 と答えた人もいました．分母も分子も 0 に近づくので（つまり無限小）これは 1 になります．でも，前節で説明したとおり無限小と 0 は違います．無限小の振る舞いのおもしろいところをお見せしましょう．
2÷1 = 2
0.2÷0.1 = 2
0.02÷0.01 = 2
0.002÷0.001 = 2
・・・・・・
分母分子とも 0 に近づくのに，この場合割り算の結果はいつでも 2 です．
無限小と 0 は違うのでどちらも 0÷0 の結果ではありません．
0÷0 = a とすると，逆算の意味から 0 = 0a です．
このような a はいくらでもあります．数でなくても，式であっても成り立ちます
0 = 0(5p-3q)
つまり，解は定まりません．「不定」と表現します．
解が定まらないときには，ほかに，式自身が解になってしまって一つの数に定まらないこともあります．（直線など，図形の方程式）
このような場合は，数値が定まらなくとも式自身が一つの解として定まります．（つまり図形自身が解）
0÷0 の場合，式ですら一つに定まらないのです．
あと，「定まらないから無限」という答えもありました．無限に存在することと，無限そのものはちょっとちがいます．

おわりに

以上見てきたように割り算は掛け算の逆算ですが， 0 で割る計算は「なんにもない」か「なんでもあり」になってしまうので，数学では「0 で割る計算は除外して考える」ことになってます．つま
0 で割る計算は定義しない
のです．
5／(x+1) という式では x≠-1 という条件が暗黙のうちについてきます．
「0 が数かどうか怪しい気がする．」と書いた人がいました．でも，現実に「何もないものの個数を表現する数」や「原点の座標を表現する数」として存在します．「数学の本質はその自由性にある．」とは G. Cantor の言です．ある概念を表現するのに有用なものならば，何でも取り入れて（つまり実在するものとして）扱うのが数学です．
これから先，様々な概念が登場します．そのときは頭をタコにしてその概念を自分の中のイメージとして，構築してください．タコぐらいではだめで，液状になるくらいがいいかな．悟りをひらくと，空気のようになる?
さらに自分の（数学）イメージを言語化できる表現力を身につけてください．

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参考(2004.3.24 日記)

「0で割る」に見る科学的態度

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質問サイト回答(2004.7)

2004年7月ある質問サイトの答えに，次のように投稿した．

まず0倍したら，なんでもかんでもすべて0になることはいいですね． そこで割り算とは何でしょう？ 15÷3＝5 となる理由はなんでしょうか？ 「15個のものを3人で分けると5個ずつになるから」ではありません．これは応用． 本質は， 15＝3×5 だからなのです． 割り算をするとき実際は掛け算の九九を思い出して，引いていくと思います．「自分は掛け算の九九を使わずに割り算をやっている」という人がいたら，その方法を教えてください．まぁCPU のように引き算の繰り返しとか，「すべて一覧表になっている」（つまり割り算をすべて丸暗記している）人，あるは電卓しか使わない人はいるかもしれませんが，割り算は，実際掛け算をやっているのです．（電卓でしか出来ない人は，掛け算でやる方法を覚えてください．） そう，割り算の本質は「掛け算の逆算」なのです． このことからすると，5÷0 の答えとは，「0倍して5になる数」なんです．0倍したらなんでもかんでもすべて0になるのですから，そんな数はありえませんね． べつに禁止されているわけでも，無限大でもありません．割り算の本質（掛け算の逆算）で考えれば，「そんなものなんにもないよ」というしかありません． 同様に 0÷0 の答えは「0倍して0になる数」ですから「なんでもかんでもすべてあり」になり，これまた意味を持ちません． 0で割る計算は「なんにもない」か「なんでもあり」ということで，無意味なので今のところ「数学では除外して考える」習慣になっています． 今までの数学と矛盾することなく，0で割ることに何か新しくて正しい論理的な意味を持たせることが出来れば，そこから新しい数学が始まると思います．べつに「0で割ってはいけない」ことが数学的に証明されたわけではありませんから．（「数学が矛盾しないことを，有限の論述で証明することはできない」ことは 1931年にまったく数学的に証明されています．） 「数学の本質はその自由性にある」という数学者の言葉があります．固定観念にとらわれることなく，挑戦してみてください．

↑この文章のアンダーダイン部分，思いっきりパクられてんの．まぁ，いいけど．
やほーちえ袋
少しくらい，自分でアレンジすればいいのに，完全にコピー＆ペーストだもんなぁ．最後に，パソコンの計算結果の記述があるけど，「私は人や機械に頼って，自分では思考しません．」という意思表示をしている．

2004年9月4日追記．

「0で割ってはいけない」と習うらしい．俺がいつ教えた？
したがって，
質問「0で割ってはいけないと習ったのですが，なぜですか？」
の回答でも
「決まりだからです．」「定義だからです．」
と自分では，何も考察しない回答が並ぶことも多い．
学校では
「・・・だから，0で割ってはいけないのです．」
と教わるものの，「・・・」を忘れ結果だけ覚えていて，ある日「どうしてだろう」と思うのか．
まぁ，「0で割ってはいけない」理由を知らずに「決まりだ」で済ませる数学教師もいるだろうし，知っていても，教えるのは面倒だし，結果だけ使えば受験には十分だし，「決まりだ」で済ませることもあるだろう．
私は「いけない」ではなく，「意味がない」と教えるようにしている．そっちのほうが，理由に近い．
0で割る計算は「なんもない」か「すべて」になって意味がない．

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2006年11月21日ブログ - 「0で割る」でアクセス噴火

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2005年11月9日追記．

分数の割り算にみる数学における「定義」の意味

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Linked

Lestialization
どこが間違い?「１＝２」を証明する
『0で割るということ』について。
「無限大」の大小について
「無限大」の大小について
「無限大」の大小について
０÷０の答え - Yahoo!知恵袋
0で割るとどうなるか (数学ネタ17)
数学ガールはさっぱり読めてないがゼロディバイドについて - polestar's blog
数学で「A÷０」（ゼロで割る）がダメな理由を教えてください。 - Yahoo!知恵袋
１÷０＝？ - Yahoo!知恵袋
本当に家庭教師
０÷０＝？
ψ（プサイ）の興味関心空間劇場版・・・
OKWave 除算の定義？
[考え事]今日の悩み
2÷0の答えは何になるのでしょうか
[教えて！goo] ∞×０なんて答えあったっけ？
1÷０　と　無限大　の定義
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分母が０ -OKWave
[教えて！goo] 分母が０
3/26のＩＱサプリで…
『0』で割る割り算
Yahoo!知恵袋 - １÷０ はなんですか？
過去モノ
０/１　と　１/０　 の違いを数学的に
[教えて！goo] 生徒に質問されて困ってます。
ちょっと変な質問になってしまうかもしれないですが、中
[教えて！goo] 8÷0＝
Yahoo!知恵袋 - 電卓で１÷０を押すとＥ（エラー）で０になります。１
Yahoo!知恵袋 - 「0^0＝不定」を、高校1年生に分かり易
Yahoo!知恵袋 - 0で割り算をすることはできない、ということになっていますが
こないだ数学の授業で、「5÷0」 - Yahoo!知恵袋
[教えて！goo] １÷０の答えを教えて下さい