小石と月を地球に落としたらどちらが先にぶつかる？

理科の実験で，真空中で羽毛と小石を落として，「空気抵抗がなければ落下速度は同じだ！」というのがある．

これが，小石と月だったらどうか．
試しに計算したら月も小石も落下速度は同じだが，相手が月だと，地球も月に引っ張られて，月の方が早く衝突するということがわかった．

質量$M$と$m$ の二つの物体間の距離が $R$ の万有引力の大きさは，万有引力定数を$G$として

$\frac{GMm}{R^2}$
である．


地球の質量 $R$ なら引力の大きさは
$\frac{GEm}{R^2}$
地表の場合は $m$で割って
$9.8=\frac{GE}{6000000^2}$
となるわけだ．

地球の質量 $R$ なら引力の大きさは
$\frac{GEm}{R^2}$
で，加速度は地表の場合と同様に小石の質量で割って
$\frac{GE}{R^2}$
これは月であってもまったく同様で，引力の大きさは
$\frac{GEM}{R^2}$
で小石よりも圧倒的に巨大だが，月の方が圧倒的に重いので，加速度は小石と同じ
$\frac{GE}{R^2}$
つまり，月も小石も地球に対する加速度はまったく同じで，当然「落下速度」は同じである．

次に地球の加速度を計算してみる．
相手が月の場合の引力の大きさは，
$\frac{GEM}{R^2}$
より加速度は地球の質量Eで割って
$\frac{GM}{R^2}$
同様に相手が小石の場合の地球の加速度は
$\frac{Gm}{R^2}$

$M$ がでかいので，地球の加速度（落下速度）は，相手が月の場合，圧倒的に巨大になり，地球のほうが早く衝突する．
もちろん，Rは重心間の距離なので，小石より月のほうが月の半径分だけはじめから「近い」のではあるが，それをのぞいても地球のほうが加速度が大きく，速度が大きくなることがわかる．

さて，こんなこと知って何になるの？といわれれば何にもならない．
しかし，人類はそういう素朴な疑問を持つことによって発展し，先人（ニュートン）のおかけでこんな算数程度の計算（割り算）で素朴な疑問の答えがわかる．そして，機械技術の発展とあいまって，現代の便利な生活につながっているわけだな．

「小石も，月も加速度は同じ！」
ってのが「２０へぇ」，違いは地球の加速度．
いままで，こんなことを考えたことはなかったが，ふと疑問になって役立ったのが，万有引力の公式．
こんな素朴な疑問を解決してくれるのがこういった，一見無駄な「教養」なわけだ．
疑問に思っても，数学が使えなければあやふやなままになってしまうだろうし，この文章の数式部分が読めなければ「そんなもんかね」で終わり，かえってモヤモヤは残るだろう．
そして，「数学は，やはりよくわからない・・・」となるのだろうなー．

自分はこうやって数式でズバっと理由がわかり気分がいい．
数学に対して抵抗がなくてよかった．