$x^n-1$の因数分解

$x^2-1=(x-1)(x+1)$
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$
$x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$
これらは高校の範囲．虚数を使えば，
$\omega=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$
$x^4-1=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)$
$x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=(x-1)\left(x^2+\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1\right)\left(x^2+\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1\right)$
$=(x-1)\left(x-\frac{-1+\sqrt{5}+i\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)\left(x-\frac{-1+\sqrt{5}-i\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)$
$\left(x-\frac{-1-\sqrt{5}+i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\right)\left(x-\frac{-1-\sqrt{5}-i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\right)$＞方法
などとなるが，今は有理数の範囲で（虚数i やルートを使わないで）考える．

たとえば，
$x^8-1$
$=(x^4-1)(x^4+1)$
$=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$
で複2次式を使えば，
$x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-(\sqrt{2}x)^2$
$=(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)$
と実数の範囲で2次式まで因数分解できるが，いまは，有理数の範囲にこだわって，
$x^8-1$
$=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$
でストップする．＞虚数の範囲ならこちら


$x^2-1=(x-1)(x+1)$
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$
$x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$
$x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$
$x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$
$x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$
$x^8-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$
$x^9-1=(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1)$
$x^{10}-1=(x-1)(x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$

これら因数に出てくる係数はすべて　1 か -1 であるから，すべての $x^n-1$ の有理数の範囲の因数分解の因数には 1 か -1 しか出てこないような気はする．
この事実は $n=105$ では係数2が出てくる．
因数分解には数式処理ソフトMathematicaを使った．（2006/11/17 追記　手計算でできる＞メビウスの反転公式）

$x^{105}-1=\\ \ (x-1)\\ \ (x^2+x+1)\\ \ (x^4+x^3+x^2+x+1)\\ \ (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)\\ \ (x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)\\ \ (x^{12}-x^{11}+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1)\\ \ (x^{24}-x^{23}+x^{19}-x^{18}+x^{17}-x^{16}+x^{14}-x^{13}+x^{12}-x^{11}\\ \ +x^{10}-x^8+x^7-x^6+x^5-x+1)\\ \ (x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-{\Large 2}x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}\\ \ +x^{34}+x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}-x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}\\ \ +x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^9-x^8-{\Large 2}x^7-x^6-x^5+x^2+x+1)$

最後の48次式の因数の7乗，41乗に係数 -2 がある．
n=200 まで調べたら， n=165 ， 195 に 2 や -2 が出てきた．
n=200 を超えると，だんだん多くなってくる．n=385 には　3 が出てきた．
n=1000　まで調べたが，4 は出てこなかった．

105=3・5・7，165=3・5・11，195=3・5・13，385=5・7・11 だから n が3種（以上？）の奇数素数の積になっていれば1以外が出てくる気がするが，必ずそうなのかはわからない．
これの規則性はまだ見つかっていないのかな？