1のn乗根（x^n-1=0 の解）は，原点を中心とする半径1の円に内接する，1を頂点とする正n角形の頂点に並ぶので，
$\cos\left(\frac{360^{\circ}}{n}\times k\right)+i\sin\left(\frac{360^{\circ}}{n}\times k\right)\ \ \ \ (k=0,1,2,\ \cdots,\ n-1)$
と表される．
その理由は，旧教育課程「数学Ｂ」の「複素数平面」の教科書に書いてあった．
de Moivre の定理から明らかである．
したがって，図に描くといっても円上に点を並べるだけである．
1乗根 x-1=0 の解 >$x=1=1+0i=\cos0^{\circ}+i\sin0^{\circ}$
1の原始n乗根を表す方程式を導く方法は＞＞以前の記事「メビウスの反転公式」
2乗根（平方根） x^2-1=(x-1)(x+1)=0
原始2乗根を表す方程式x+1=0の解 $x=-1=-1+0i=\cos180^{\circ}+i\sin180^{\circ}$
3乗根（立方根） x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0
原始3乗根を表す方程式x^2+x+1=0の解は
$x=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}=\cos120^{\circ}+i\sin120^{\circ}$
$x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}=\cos240^{\circ}+i\sin240^{\circ}$
4乗根 x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)=0
原始4乗根を表す方程式x^2+1=0の解は
$x=i=0+1i=\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ}$
$x=-i=0-1i=\cos270^{\circ}+i\sin270^{\circ}$
つまり，-1の平方根は 1 の原始4乗根である．
5乗根 x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
原始5乗根を表す方程式x^4+x^3+x^2+x+1=0の解はこちら
$x=\cos72^{\circ}+i\sin72^{\circ}$
$x=\cos144^{\circ}+i\sin144^{\circ}$
$x=\cos216^{\circ}+i\sin216^{\circ}$
$x=\cos288^{\circ}+i\sin288^{\circ}$
6乗根 x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)=0
原始6乗根を表す方程式x^2-x+1=0の解は
$\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=\cos60^{\circ}+i\sin60^{\circ}$
$\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=\cos300^{\circ}+i\sin300^{\circ}$
つまり，-1の３乗根は 1 の原始6乗根である．
7乗根 x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0
原始7乗根を表す方程式x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0の解はこちら
$\cos\left(\frac{360^{\circ}}{7}\times 1\right)+i\sin\left(\frac{360^{\circ}}{7}\times 1\right)$
$\cos\left(\frac{360^{\circ}}{7}\times 2\right)+i\sin\left(\frac{360^{\circ}}{7}\times 2\right)$
・
・
・
$\cos\left(\frac{360^{\circ}}{7}\times 6\right)+i\sin\left(\frac{360^{\circ}}{7}\times 6\right)$
8乗根 x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=0
原始8乗根を表す方程式x^4+1=0の解は
$\frac{1+i}{\sqrt{2}}=\cos45^{\circ}+i\sin45^{\circ}$
$\frac{-1+i}{\sqrt{2}}=\cos135^{\circ}+i\sin135^{\circ}$
$\frac{-1-i}{\sqrt{2}}=\cos225^{\circ}+i\sin225^{\circ}$
$\frac{1-i}{\sqrt{2}}=\cos315^{\circ}+i\sin315^{\circ}$
これは虚数単位 i の平方根を表す方程式でもある．＞＞参考
つまり，虚数単位 i の平方根は 1 の原始8乗根である．
9乗根 x^9-1=(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1)=0
原始9乗根を表す方程式x^6+x^3+1=0の解はこちら
$\cos40^{\circ}+i\sin40^{\circ}$
$\cos80^{\circ}+i\sin80^{\circ}$
$\cos160^{\circ}+i\sin160^{\circ}$
$\cos200^{\circ}+i\sin200^{\circ}$
$\cos280^{\circ}+i\sin280^{\circ}$
$\cos320^{\circ}+i\sin320^{\circ}$
10乗根 x^10-1=(x-1)(x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)=0
原始10乗根を表す方程式x^4-x^3+x^2-x+1=0の解は5乗根のときのように両辺を $x^2$ で割って，
$t=x+\frac{1}{x}$
とおくことにより，2次方程式に帰結して解くことができるが，図より -1 を頂点とする正5角形上に並ぶので，
$+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}+\frac{-1+\sqrt{5}}{4}i=\cos36^{\circ}+i\sin36^{\circ}$
$-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}+\frac{-1+\sqrt{5}}{4}i=\cos108^{\circ}+i\sin36^{\circ}$
$-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}+\frac{-1-\sqrt{5}}{4}i=\cos252^{\circ}+i\sin252^{\circ}$
$+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}+\frac{-1-\sqrt{5}}{4}i=\cos324^{\circ}+i\sin324^{\circ}$
つまり，-1の5乗根 1 の原始10乗根である．
11乗根 x^11-1=(x-1)(x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0
原始11乗根を表す方程式x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0の解の考察はこちら（厳密解は解いてません）
$\cos\left(\frac{360^{\circ}}{11}\times 1\right)+i\sin\left(\frac{360^{\circ}}{11}\times 1\right)$
$\cos\left(\frac{360^{\circ}}{11}\times 1\right)+i\sin\left(\frac{360^{\circ}}{11}\times 2\right)$
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$\cos\left(\frac{360^{\circ}}{11}\times 10\right)+i\sin\left(\frac{360^{\circ}}{11}\times 10\right)$
12乗根 x^12-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)=0
原始12乗根を表す方程式x^4-x^2+1=0の解は，複2次式の形に持ち込んで因数分解できるが，i を頂点とする正6角形の頂点に並ぶので，
$\frac{\sqrt{3}+i}{2}=\cos30^{\circ}+i\sin30^{\circ}$
$\frac{-\sqrt{3}+i}{2}=\cos150^{\circ}+i\sin150^{\circ}$
$\frac{-\sqrt{3}-i}{2}=\cos210^{\circ}+i\sin210^{\circ}$
$\frac{\sqrt{3}-i}{2}=\cos330^{\circ}+i\sin330^{\circ}$
つまり，iの６乗根は 1 の原始12乗根である．
＞追記「リゾルベント」
大変やん！
返信削除頭痛いのー