正四面体の中心角その2

先日計算したもののベクトルバージョン．高校の数学B．

ベクトルを使えば，三平方の定理とか，余弦定理などは不要になる．

そもそも，余弦定理は三平方の定理の拡張だし，ベクトルの内積は余弦定理そのものである．
つまりベクトルの内積を使うことは，余弦定理や三平方の定理を使うことと同じで，その分計算が簡略化，抽象化され，あまり図形を意識しなくてよくなる．
つまり単なる計算問題となる．

正四面体の頂点のひとつを原点Oとし，他の頂点A, B, C の位置ベクトルを
$\mathrm{A}(\vec{a}),\ \mathrm{B}(\vec{b}),\ \mathrm{C}(\vec{c})$
とする．つまり，四面体OABCにおいて，
$\vec{\mathrm{OA}}=\vec{a},\ \vec{\mathrm{OB}}=\vec{b},\ \vec{\mathrm{OC}}=\vec{c}$
と決める．

求める中心角は，重心Gに対して
$\vec{\mathrm{GO}}$　と　$\vec{\mathrm{GA}}$　のなす角
である．その角の大きさを$\theta$としたとき，
$\cos\theta=\frac{\vec{\mathrm{GO}}\cdot\vec{\mathrm{GA}}}{|\vec{\mathrm{GO}}||\vec{\mathrm{GA}}|}$
なので，この分母と分子を求める．

重心Gは
$\frac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$
であるから，
$\vec{\mathrm{GO}}=\vec{0}-\frac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=-\frac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$
$\vec{\mathrm{GA}}=\vec{a}-\frac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=\frac{1}{4}(3\vec{a}-\vec{b}-\vec{c})$

$\vec{\mathrm{GO}}\cdot\vec{\mathrm{GA}}=\left(-\frac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\right)\cdot\left(\frac{1}{4}(3\vec{a}-\vec{b}-\vec{c})\right)$
$=-\frac{1}{16}(3\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}-\vec{c}\cdot\vec{c}+2\vec{a}\cdot\vec{b}-2\vec{b}\cdot\vec{c}+2\vec{c}\cdot\vec{a})$
$=-\frac{1}{16}(3|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2-|\vec{c}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}-2\vec{b}\cdot\vec{c}+2\vec{c}\cdot\vec{a})$

ここで，四面体の辺の長さを1とすれば
$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$
また，正三角形の2辺のベクトルの内積から，
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos60^\circ=\frac{1}{2}$
同様に
$\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}=\frac{1}{2}$

よって，
$\vec{\mathrm{GO}}\cdot\vec{\mathrm{GA}}=-\frac{1}{16}(3-1-1+2\times\frac{1}{2}-2\times\frac{1}{2}+2\times\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}$

分母の$|\vec{\mathrm{GO}}||\vec{\mathrm{GA}}|$については，
$|\vec{\mathrm{GO}}|^2=\vec{\mathrm{GO}}\cdot\vec{\mathrm{GO}}$
$=\left(-\frac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\right)\cdot\left(-\frac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\right)$
$=\frac{1}{16}(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+2\vec{b}\cdot\vec{c}+2\vec{c}\cdot\vec{a})$
$=\frac{1}{16}(1+1+1+1+1+1)=\frac{3}{8}$

図の対称性から，
$|\vec{\mathrm{GO}}|=|\vec{\mathrm{GA}}|=\sqrt{\frac{3}{8}}$
より分母は，
$|\vec{\mathrm{GO}}||\vec{\mathrm{GA}}|=\sqrt{\frac{3}{8}}\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{3}{8}$

したがって，
$\cos\theta=-\frac{1}{8}\div\frac{3}{8}=-\frac{1}{3}$


これが正四面体の中心角の大きさ．

＞ベクトルなら何次元でも

＞追記「コピー用紙で作る正四面体の中心角」