1の累乗根（x^n-1=0 の解）が円周上にある理由

1の累乗根（x^n-1=0 の解）が原点を中心とする半径1の円上に並ぶ理由は，旧教育課程「数学Ｂ」の教科書「複素数平面」に載っているが，今「複素数平面」は高校では扱わなくなってしまった．
結局，やっていることはベクトルと大差ないからである．


ベクトルとの違いは，やはり「積」「商」があることだろう．
これで累乗根の図の説明がつく，

複素数 2-5i を座標 (2, -5) で表すというのが複素数平面である．
α=2-5i と β=-3+4i の和や差は，ベクトルの成分表示で，(2, -5) と (-3, 4)の和や差と同じである．そして，図形的な意味は，ふつうに座標を足したり引いたりするだけである．

ベクトルには積や商はないが，複素数の積や商は
αβ=(2-5i)(-3+4i)=14+23i
α/β=(2-5i)/(-3+4i)=-1.04+0.28i
と計算される．

これにはちゃんと図形的な意味があり，それにはどうしても「絶対値」と「偏角」という考え方が必要となる．どちらもきわめて単純な概念である．


絶対値は「原点からの距離」．
α=2-5i が表す点 (2, -5) と原点との距離は √29
β=-3+4i が表す点 (-3, 4) と原点との距離は √25=5
というだけ．

さて，偏角．
これはその座標まで引いた線と横軸(x軸)となす角のこと．
つまり実数の偏角は正の数（５とかπとか√２とか）なら0度，負の数（－５とか－πとか－√２とか）なら180度．
虚数単位 i=0+1i の表す点 (0, 1) なので，絶対値は 1 で，偏角は90度である．

α=2-5i が表す点 (2, -5) がx軸となす角は，sin角= -5/√29 となる角だから，-68.2度くらい．
同様にβ=-3+4iの偏角は126.9度

ここで，積の絶対値と偏角を計算する．
αβ=(2-5i)(-3+4i)=14+23i の絶対値は√725でこれはαの絶対値√29，βの絶対値√25の積．
αβ=(2-5i)(-3+4i)=14+23iの偏角は 58.7 度で，これはαの偏角-68.2度，ベータの偏角126.9度の和である．
同様に商の絶対値は絶対値の商，商の偏角は偏角の差となる．

ということで，複素数の積や商の図形的な意味は，
「回転を伴う拡大（縮小）」
といえる．

さて，絶対値1 の複素数同士の積や商は，常に絶対値1 となる．
つまり拡大や縮小はせず，半径1の円周上を回転するだけとなる．

絶対値1，偏角θの複素数は，
$\cos\theta+ i \sin\theta$
と表されるが，これを2乗すると，絶対値は1のままで，偏角はθ+θなので，
$(\cos\theta+ i \sin\theta)^2=\cos2\theta+ i \sin2\theta$
となる，同様にして次の de Moivre の公式が得られる．
$(\cos\theta+ i \sin\theta)^n=\cos n\theta+ i \sin n\theta$

ここで 1 の n乗根を考える．
$(\cos\theta+ i \sin\theta)^n=\cos n\theta+ i \sin n\theta=1$
となる θを求めればよい．
さて，1の偏角は0なので，
$1=\cos 0+ i \sin 0$
ということは，
$n\theta=0$
となるθということで，θ=0しか求まらない．

実は，角度というものは1周しても同じ位置に来るので，この場合は，1の偏角は360度の倍数を考えるのである．
$1=\cos 360^{\circ}+ i \sin 360^{\circ}$
$1=\cos 720^{\circ}+ i \sin 720^{\circ}$
つまり，
$1=\cos 360^{\circ}k+ i \sin 360^{\circ}k,\ \ \ (k=0,1,2,\ \cdots)$
となるから，
$n\theta=360^{\circ}k,\ \ \ (k=0,1,2,\ \cdots)$
となり，
$\theta=\frac{360^{\circ}}{n}k,\ \ \ (k=0,1,2,\ \cdots)$
ということで，1のn乗根は
$\cos \frac{360^{\circ}}{n}k+ i \sin \frac{360^{\circ}}{n}k,\ \ \ (k=0,1,2,\ \cdots)$
となり円周上に並ぶ．