単体の中心角

正三角形の重心から頂点に伸ばした線のなす度は120度で，
$\cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}$

正四面体の重心から頂点に伸ばした線のなす角の cos は，
$\cos\theta=-\frac{1}{3}$
だった．
＞三角比で
＞ベクトルで

正三角形や正四面体はその次元の中でもっとも基本的な形で，「単体」という．
つまり2次元の単体が正三角形，3次元の単体が正四面体である．

では1次元の単体はというと「線分」である．
その重心は線分の中点で，そこから頂点に伸ばした線のなす角は180度だから
$\cos180^{\circ}=-1$

ふとここで，
1次元単体（線分）の中心角の余弦は -1
2次元単体（正三角形）の中心角の余弦は -1/2
3次元単体（正四面体）の中心角の余弦は -1/3
となっているので，
4次元単体の中心角の余弦は -1/4
かな？　と思う．


3次元単体の正四面体は4つの正三角形（2次元単体）で囲まれた3次元立体だが，4次元単体は5つの正四面体（3次元単体）で囲まれた4次元立体で，「五胞体」という．

ということで，五胞体の中心角の余弦を求めてみる．

五胞体の頂点のひとつを原点Oとし，他の頂点A, B, C, D の位置ベクトルを
$\mathrm{A}(\vec{a}),\ \mathrm{B}(\vec{b}),\ \mathrm{C}(\vec{c})\ \mathrm{D}(\vec{d})$
とする．つまり，五胞体OABCDにおいて，
$\vec{\mathrm{OA}}=\vec{a},\ \vec{\mathrm{OB}}=\vec{b},\ \vec{\mathrm{OC}}=\vec{c}\ \vec{\mathrm{OD}}=\vec{d}$
と決める．

求める中心角は，重心Gに対して
$\vec{\mathrm{GO}}$　と　$\vec{\mathrm{GA}}$　のなす角
である．その角の大きさを$\theta$としたとき，
$\cos\theta=\frac{\vec{\mathrm{GO}}\cdot\vec{\mathrm{GA}}}{|\vec{\mathrm{GO}}||\vec{\mathrm{GA}}|}$
なので，この分母と分子を求める．

重心Gは
$\frac{1}{5}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})$
であるから，
$\vec{\mathrm{GO}}=\vec{0}-\frac{1}{5}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})=-\frac{1}{5}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})$
$\vec{\mathrm{GA}}=\vec{a}-\frac{1}{5}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})=\frac{1}{5}(4\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}-\vec{d})$

$\vec{\mathrm{GO}}\cdot\vec{\mathrm{GA}}=\left(-\frac{1}{5}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})\right)\cdot\left(\frac{1}{5}(4\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}-\vec{d})\right) \\ =-\frac{1}{25}(4\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}-\vec{c}\cdot\vec{c}-\vec{d}\cdot\vec{d}+3\vec{a}\cdot\vec{b}+3\vec{a}\cdot\vec{c}+3\vec{a}\cdot\vec{d}-2\vec{b}\cdot\vec{c}-2\vec{b}\cdot\vec{d}-2\vec{c}\cdot\vec{d}) \\ =-\frac{1}{25}(4|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2-|\vec{c}|^2-|\vec{d}|^2+3\vec{a}\cdot\vec{b}+3\vec{a}\cdot\vec{c}+3\vec{a}\cdot\vec{d}-2\vec{b}\cdot\vec{c}-2\vec{b}\cdot\vec{d}-2\vec{c}\cdot\vec{d})$

ここで，五胞体の辺の長さを1とすれば
$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$
また，正三角形の2辺のベクトルの内積から，
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos60^\circ=\frac{1}{2}$
同様に
$\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}=\frac{1}{2}$
$\vec{a}\cdot\vec{d}=\vec{c}\cdot\vec{a}=\frac{1}{2}$
$\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}=\frac{1}{2}$
$\vec{b}\cdot\vec{d}=\vec{c}\cdot\vec{a}=\frac{1}{2}$
$\vec{c}\cdot\vec{d}=\vec{c}\cdot\vec{a}=\frac{1}{2}$

よって，
$\vec{\mathrm{GO}}\cdot\vec{\mathrm{GA}}=-\frac{1}{25}(4-1-1-1+3\times\frac{1}{2}+3\times\frac{1}{2}+3\times\frac{1}{2}-2\times\frac{1}{2}-2\times\frac{1}{2}-2\times\frac{1}{2})=-\frac{1}{10}$

一方，
$|\vec{\mathrm{GO}}|^2=\vec{\mathrm{GO}}\cdot\vec{\mathrm{GO}} \\ =\left(-\frac{1}{5}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})\right) \\ =\frac{1}{25}(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+|\vec{d}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+2\vec{a}\cdot\vec{c}+2\vec{a}\cdot\vec{d}+2\vec{b}\cdot\vec{c}+2\vec{b}\cdot\vec{d}+2\vec{c}\cdot\vec{d}) \\ =\frac{1}{25}(1+1+1+1+1+1+1+1+1)=\frac{10}{25}$

分母の$|\vec{\mathrm{GO}}||\vec{\mathrm{GA}}|$については，
図の対称性から，
$|\vec{\mathrm{GO}}|=|\vec{\mathrm{GA}}|=\frac{\sqrt{10}}{5}$
より分母は，
$|\vec{\mathrm{GO}}||\vec{\mathrm{GA}}|=\frac{\sqrt{10}}{5}\cdot\frac{\sqrt{10}}{5}=\frac{10}{25}$

したがって，
$\cos\theta=-\frac{1}{10}\div\frac{10}{25}=-\frac{1}{4}$
と予想通り．


これが五胞体（4次元単体）の中心角の大きさ．

計算自体は高校レベルだが，4次元の計算ができてしまうところが，ベクトルのすごいところ．
図に頼る三角比でのやり方では，五胞体の図から角度を考えていく手間は大変なものになる．

数学はまさに抽象化の学問．同じやり方で
「n次元単体の中心角の余弦は -1/n」
が計算される．＞n次元単体の中心角